Съдържание

ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 3. 9-Т3 · Наезд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Новый Уренгой, 2026

Внимание: Бележка към темата

Все 62 страницы родного сборника: титул и авторы, 15 целых задач 9–11 классов, 43 номерованных запроса и одна ненумерованная задача, все напечатанные возможные решения и варианты. Дополнительно сохранены три родных листа для построений с Pho.rs: фотография 9-Т1, сетка 9-Т2 и экспериментальный график 11-Т1. Название ссылки последнего листа на внешней странице ошибочно указывает T5; содержимое листа соответствует T1. Источник не печатает баллы, критерии или время. Исходные несогласованности ключа сохранены с отдельными примечаниями. Для масштаба построений используйте исходные PDF.

Титул и авторы родного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Новый Уренгой, 2026 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Антон Вергунов
9-Т2. Александр Ершов
9-Т3. Александр Ершов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Денис Рубцов, Александр Ершов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Иван Гурьянов
10-Т3. Александр Аполонский, Александр Воронцов, Алексей Заяц
10-Т4. Александр Аполонский, Иван Юдин
10-Т5. Алексей Заяц
11-Т1. Павел Ярных
11-Т2. Константин Соломатин
11-Т3. Григорий Расторгуев
11-Т4. Александр Аполонский
11-Т5. Семён Либерман

Ключ в сборнике озаглавлен «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов, каждое задание целиком, все напечатанные методы и заключительный график RLC-метра.

Условие

Из гладкой проволоки, закреплённой в вертикальной плоскости, изготовлена горка высотой $H$ , состоящая из двух четвертей окружности, соединяющих горизонтальные участки (см. рисунок 1). В начальной точке горки покоится маленькая бусинка массой $m$ , надетая на проволоку. К ней приложена постоянная по модулю и направлению сила $\vec F$ .

Full native hill/bead/fixed-force diagram1, H,g,F,m,dashed horizontal.

Full native approach/hill diagram2,s,m,F,g,H and dashed guides.

1 Найдите минимальное значение модуля силы $F_{\min1}$ , при котором бусинка может преодолеть горку, если сила направлена горизонтально.

2 Найдите минимальный модуль силы $F_{\min2}$ , при котором бусинка может преодолеть горку. Под каким углом $\alpha_{opt}$ к горизонтали должна быть направлена сила в этом случае?

3 Пусть теперь модуль силы постоянен, а её направление может изменяться в процессе движения. Бусинка находится на расстоянии $s$ от начала горки (см. рисунок 2).

При $F=|\vec F|=mg/2$ найдите минимальное значение $s$ , при котором бусинка может преодолеть горку. Опишите как должно меняться направление силы $\vec F$ , чтобы это стало возможным.

Решение

Метод 1

Бусинка движется под действием суммы внешних сил $\vec F+m\vec g$ . Рассмотрим движение в поле эффективного ускорения свободного падения:

\vec g_{eff}=\vec g+\frac{\vec F}m.

Для преодоления горки необходимо, чтобы в любой точке траектории потенциальная энергия была меньше, чем в точке старта.

В критическом случае перпендикуляр к эффективному ускорению свободного падения касается второй четверть-окружности. Тогда из геометрии $\theta=2\operatorname{arctg}(1/2)$ .

F_{\min1}=mg\operatorname{tg}\theta=\frac{4mg}3.

Метод 2

Если бусинка преодолела горку, это значит, что в любой момент времени работа внешних сил:

A_F\geq\Pi.

где $\Pi$ — потенциальная энергия. Поделим обе части неравенства на $mg$ и подставим $A_F=F\cdot x$ :

\frac{F\cdot x}{mg}\geq h.

Рассмотрим график зависимости обеих величин от $x$ . В критическом случае графики касаются. Тогда тангенс угла наклона прямой равен:

\operatorname{tg}\theta=\frac43=\frac F{mg}.

Получаем:

F_{\min1}=mg\operatorname{tg}\theta=\frac{4mg}3.

Метод 1

Минимум силы достигается, когда вектор $\vec F/m$ перпендикулярен вектору $\vec g_{eff}$ . Направление силы $F$ — по касательной к горке под углом $\theta$ к горизонту.

F_{\min2}=mg\sin\theta=\frac45mg;\qquad\theta=2\operatorname{arctg}(1/2)=\arcsin(4/5).

Метод 2

Снова запишем неравенство

A_F\geq\Pi.

Подставим $A_F=F_x\cdot x+F_y\cdot h$ :

F_x\cdot x+F_y\cdot h\geq mgh;\qquad F_x\cdot x\geq h(mg-F_y);\qquad\frac{F_x}{mg-F_y}\cdot x\geq h.

Аналогично предыдущему пункту получаем, что:

\frac{F_x}{mg-F_y}=\operatorname{tg}\theta=\frac43;\qquad F_x=\frac43mg-\frac43F_y.

С учётом того, что $F^2=F_x^2+F_y^2$ получаем:

F^2=\frac{16}9F_y^2-\frac{32}9F_ymg+\frac{16}9m^2g^2+F_y^2=\frac{25}9F_y^2-\frac{32}9F_ymg+\frac{16}9m^2g^2.

Минимум этой квадратичной зависимости достигается при:

F_y=\frac{16}{25}mg.

Тогда

F_{\min2}^2=\frac{16}9m^2g^2-\frac{16^2}{25\cdot9}m^2g^2=\frac{16}{25}m^2g^2.

Получаем ответ:

F_{\min2}=\frac45mg.

Угол с горизонтом:

\theta=\operatorname{arctg}\frac{F_y}{F_x}=\operatorname{arctg}\frac43.

Если бусинка преодолела горку, это значит, что в любой момент времени сумма работ внешних сил:

A_F+A_{mg}\geq0.

Для максимизации работы силы $F$ , последняя должна быть всегда направлена вдоль траектории. Рассмотрим критический случай, когда бусинка достигает предельной точки, остановившись на второй четверть-окружности. Параметризуем эту точку углом $\alpha$ . В критическом случае эта точка является положением равновесия:

F=mg\cos\alpha.

Работа сил равна нулю:

F\cdot\left(s+H/2\cdot\left(\frac\pi2+\alpha\right)\right)=mg\cdot\frac H2(1+\sin\alpha);

s=\frac{mg}F\frac H2\cdot(1+\sin\alpha)-\frac H2\cdot\left(\frac\pi2+\alpha\right);

s=\frac H2\left(\frac{1+\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac\pi2-\alpha\right).

С учётом $F=mg\cos\alpha$ :

s=\frac H2\left(\frac{1+\sqrt{1-F^2/(m^2g^2)}}{F/mg}-\frac\pi2-\arccos\frac F{mg}\right).

Для $F=mg/2$ :

s=\frac H2\left(2+\sqrt3-\frac{5\pi}6\right).

Native complete effective-gravity hill diagram,geff,g,F/m,theta and critical tangent.

Native potential/work graph and tangent from origin,all axes/labels.

Native second effective-gravity vector/hill construction and theta.

Native variable-force critical hill position,alpha,H,s,F,all guides.

Оригинал в Архива: Ru26-T.pdf · решение от архива: Ru26-T.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T1-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T2-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-11T1-sheet.pdf