Съдържание

ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 4. 9-Т4 · Теплообменник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Новый Уренгой, 2026

Внимание: Бележка към темата

Все 62 страницы родного сборника: титул и авторы, 15 целых задач 9–11 классов, 43 номерованных запроса и одна ненумерованная задача, все напечатанные возможные решения и варианты. Дополнительно сохранены три родных листа для построений с Pho.rs: фотография 9-Т1, сетка 9-Т2 и экспериментальный график 11-Т1. Название ссылки последнего листа на внешней странице ошибочно указывает T5; содержимое листа соответствует T1. Источник не печатает баллы, критерии или время. Исходные несогласованности ключа сохранены с отдельными примечаниями. Для масштаба построений используйте исходные PDF.

Титул и авторы родного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Новый Уренгой, 2026 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Антон Вергунов
9-Т2. Александр Ершов
9-Т3. Александр Ершов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Денис Рубцов, Александр Ершов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Иван Гурьянов
10-Т3. Александр Аполонский, Александр Воронцов, Алексей Заяц
10-Т4. Александр Аполонский, Иван Юдин
10-Т5. Алексей Заяц
11-Т1. Павел Ярных
11-Т2. Константин Соломатин
11-Т3. Григорий Расторгуев
11-Т4. Александр Аполонский
11-Т5. Семён Либерман

Ключ в сборнике озаглавлен «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов, каждое задание целиком, все напечатанные методы и заключительный график RLC-метра.

Условие

Теплообменник состоит из двух коаксиальных труб длиной $L=5\ \text{м}$ . По внутренней трубе в положительном направлении оси $x$ течёт смесь воды и льда с массовым расходом $\mu_{\text{х}}=0{,}70\ \text{кг/с}$ . По внешней трубе встречным потоком течёт горячая вода с $\mu_{\text{г}}=0{,}50\ \text{кг/с}$ , температура $T_{\text{г}}$ которой при $x=L$ составляет $60\ ^\circ\text C$ . Устройство теплообменника таково, что зависимость массовой доли $\alpha(x)$ льда от координаты $x$ имеет вид, показанный на графике. Площадь поперечного сечения внутренней трубы постоянна и равна $S=100\ \text{см}^2$ .

Удельная теплота плавления льда $\lambda=3{,}35\cdot10^5\ \text{Дж/кг}$ , удельная теплоёмкость воды $c=4{,}2\cdot10^3\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$ , плотности воды и льда равны $\rho_{\text{в}}=1000\ \text{кг/м}^3$ и $\rho_{\text{л}}=900\ \text{кг/м}^3$ соответственно. Теплопотерями в окружающую среду и теплоёмкостью стенок пренебречь.

Full native ice mass-fraction graph,alpha0.4to0.1,x0to5m,all tick labels/grid.

1 Найдите температуру горячей воды $T_{\text{г}}$ в сечении с координатой $x=0$ .

2 Постройте график зависимости температуры $T_{\text{г}}(x)$ горячей воды от координаты.

3 Получите зависимость скорости $v(x)$ смеси воды и льда от координаты. Считайте, что скорость течения смеси одинакова по всему поперечному сечению.

Решение

Пока в смеси есть лёд, её температура $0\ ^\circ\text C$ . Всё тепло от горячей воды идёт на плавление льда.

Далее будем рассматривать изменение всех величин вдоль оси $x$ . Выделим элементарный участок трубы длиной $\Delta x$ , настолько малый, что можно считать скорость движения смеси постоянной. За время $\Delta\tau$ внутри выделенного объёма масса льда изменится на:

\Delta m_{\text{л}}=\mu_{\text{х}}\Delta\tau\Delta\alpha.

Изменение внутренней энергии горячей воды:

\delta Q_2=-c\mu_{\text{г}}\Delta\tau\Delta T_{\text{г}}.

Так как теплопотерями в окружающую среду и теплоёмкостью стенок можно пренебречь и режим течения является установившимся, то изменение внутренней энергии выделенного элемента равно 0:

\Delta U=0;\qquad-\lambda\mu_{\text{х}}\Delta\alpha-c\mu_{\text{г}}\Delta T_{\text{г}}=0.\qquad (1)

Из выражения (1) следует, что

\frac{\Delta T_{\text{г}}}{\Delta\alpha}=-\frac{\lambda\mu_{\text{х}}}{c\mu_{\text{г}}}=\text{const}.\qquad (2)

Отсюда следует, что

T_{\text{г}}(L)-T_{\text{г}}(0)=\frac{\mu_{\text{х}}\lambda}{\mu_{\text{г}}c}\bigl(\alpha(0)-\alpha(L)\bigr),

где $\alpha(0)=0{,}4$ , $\alpha(L)=0{,}1$ .

Отсюда

T_{\text{г}}(0)=T_{\text{г}}(L)-\frac{\mu_{\text{х}}\lambda}{\mu_{\text{г}}c}\bigl(\alpha(0)-\alpha(L)\bigr),

или:

T_{\text{г}}(0)=26{,}5\ ^\circ\text C.

Разделим числитель и знаменатель левой части выражения (2) на $\Delta x$ и получим:

\frac{\Delta T_{\text{г}}}{\Delta x}=-\frac{\lambda\mu_{\text{х}}}{c\mu_{\text{г}}}\frac{\Delta\alpha}{\Delta x}=6{,}7\ ^\circ\text{C/м}.

Тогда:

T(x)=26{,}5\ ^\circ\text C+6{,}7x.

График график зависимости температуры $T_{\text{г}}(x)$ горячей воды от координаты приведён на рисунке.

Рассмотрим элементарный участок трубы длиной $\Delta x$ . Объём смеси равен

\Delta V=\Delta V_{\text{л}}+\Delta V_{\text{в}},

где $\Delta V_{\text{л}}$ и $\Delta V_{\text{в}}$ — объёмы твёрдой и жидкой фаз. Тогда

\Delta V=\frac{\alpha(x)\Delta m}{\rho_{\text{л}}}+\frac{(1-\alpha(x))\Delta m}{\rho_{\text{в}}}.

Плотность смеси:

\rho(x)=\frac{\Delta m}{\Delta V}=\left(\frac{\alpha(x)}{\rho_{\text{л}}}+\frac{1-\alpha(x)}{\rho_{\text{в}}}\right)^{-1}.

Массовый расход постоянен:

\mu=S\rho(x)v(x),

откуда

v(x)=\frac{\mu_{\text{х}}}{S\rho(x)}=\frac{\mu_{\text{х}}}S\left(\frac{\alpha(x)}{\rho_{\text{л}}}+\frac{1-\alpha(x)}{\rho_{\text{в}}}\right).

С учётом того, что

\alpha(x)=0{,}4-0{,}06x,

v(x)=\frac{\mu_{\text{х}}}{S\rho_{\text{в}}\rho_{\text{л}}}\bigl(0{,}6\rho_{\text{л}}+0{,}4\rho_{\text{в}}-0{,}06x(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}})\bigr).

Примечание к источнику: сохранены исходные обозначения $T(x)$ и $\mu$ без индексов в отдельных формулах и повтор «График график».

Full native hot-water temperature graph,Tg degreesC,x metres,grid and all tick labels.

Оригинал в Архива: Ru26-T.pdf · решение от архива: Ru26-T.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T1-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T2-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-11T1-sheet.pdf