ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 5. 9-Т5 · Мосты

Воспользуемся методом узловых потенциалов. Рассмотрим случай, когда на резисторах $R_1$ и $R_2$ мощность не выделяется. Тогда напряжения на этих резисторах равны нулю.

Пусть $\varphi_C=0$, тогда $\varphi_D=U_0$ (см. рисунок 1). Так как токи через $R_1$ и $R_2$ равны нулю, получаем:

и

Следовательно, напряжение источника, подключенного к точкам $A$ и $B$ равно:

Метод 1

Воспользуемся методом наложения. Рассмотрим схему с противоположной полярностью источника (подключенного к $A$ и $B$) как суперпозицию ранее рассмотренной схемы и схемы с источником таким, что $\varphi_B-\varphi_A=-2U_0$. Ранее рассмотренная схема дает нулевые токи через $R_1$ и $R_2$. Значит, осталось лишь определить силы токов $I_1$ и $I_2$, текущих через резисторы $R_1$ и $R_2$ во второй схеме. Расставим токи во второй схеме с учетом закона Ома (см. рисунок 2). Из закона сохранения заряда:

Мощности на этих резисторах $P_1=I_1^2R_1$ и $P_2=I_2^2R_2$ равны, следовательно:

Метод 2

Введём силы токов через резисторы с учетом закона сохранения заряда (см. рисунок 3). Распишем разность потенциалов двумя способами:

Откуда

Условие равенства мощностей $I_1^2R_1=I_2^2R_2$, следовательно:

Из полученных формул выразим $r$:

Метод 1

Воспользуемся методом эквивалентного источника. Заменим всю схему на источник напряжением $U^*$ и сопротивлением $r^*$. Эквивалентное напряжение найдем как разность потенциалов между узлами $A$ и $B$ в отсутствие внешних токов (см. рисунок 4):

Эквивалентное сопротивление найдем, заменив ветвь с источником на перемычку:

Таким образом, двухполюсник $AB$ эквивалентен просто резистору сопротивлением $\sqrt{R_1R_2}$. Следовательно, омметр при подключении к такому двухполюснику покажет $R=\sqrt{R_1R_2}$ вне зависимости от его полярности.

Метод 2

Заметим, что условие $r^2=R_1R_2$ эквивалентно условию сбалансированности моста $r/R_1=R_2/r$. Рассмотрим схему, в которой источник $\mathcal E_0$ внутри омметра заменен на перемычку. Через внутреннее сопротивление $r_0$ омметра ток не течет, поскольку он расположен на диагонали сбалансированного моста. Тогда:

Рассмотрим схему, в которой источник $U_0$ заменен на перемычку. Через эту перемычку ток также не течет в силу сбалансированности моста, тогда:

Наложим две рассматриваемые схемы. Итоговая разность потенциалов на выводах омметра:

а сила тока

Тогда показание омметра:

Получили, что через омметр не течет ток от источника $U_0$. Следовательно, омметр показывает эквивалентное сопротивление $r^*$ вне зависимости от полярности подключения.

Примечание к источнику: в последних формулах ключа ЭДС омметра напечатана как $\mathcal E$ без индекса 0; исходное обозначение сохранено.