Съдържание

ВсОШ 2026, Заключителен етап — Задача 8. 10-Т3 · Газировка под поршнем

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике — Заключительный этап, теоретический тур — Новый Уренгой, 2026

Внимание: Бележка към темата

Все 62 страницы родного сборника: титул и авторы, 15 целых задач 9–11 классов, 43 номерованных запроса и одна ненумерованная задача, все напечатанные возможные решения и варианты. Дополнительно сохранены три родных листа для построений с Pho.rs: фотография 9-Т1, сетка 9-Т2 и экспериментальный график 11-Т1. Название ссылки последнего листа на внешней странице ошибочно указывает T5; содержимое листа соответствует T1. Источник не печатает баллы, критерии или время. Исходные несогласованности ключа сохранены с отдельными примечаниями. Для масштаба построений используйте исходные PDF.

Титул и авторы родного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. LIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Новый Уренгой, 2026 г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail: physolymp@gmail.com.

Авторы задач

9-Т1. Антон Вергунов
9-Т2. Александр Ершов
9-Т3. Александр Ершов
9-Т4. Антон Вергунов
9-Т5. Денис Рубцов, Александр Ершов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Иван Гурьянов
10-Т3. Александр Аполонский, Александр Воронцов, Алексей Заяц
10-Т4. Александр Аполонский, Иван Юдин
10-Т5. Алексей Заяц
11-Т1. Павел Ярных
11-Т2. Константин Соломатин
11-Т3. Григорий Расторгуев
11-Т4. Александр Аполонский
11-Т5. Семён Либерман

Ключ в сборнике озаглавлен «Возможные решения». Сохранены родные группы 9, 10 и 11 классов, каждое задание целиком, все напечатанные методы и заключительный график RLC-метра.

Условие

Вертикально расположенный цилиндрический сосуд разделён на две равные части объёмом $V_0=6{,}6\ \text{л}$ каждая лёгким горизонтальным газонепроницаемым поршнем, который может перемещаться без трения. Площадь поперечного сечения сосуда $S=128\ \text{см}^2$ . В обеих частях сосуда находятся одинаковые количества углекислого газа при давлении $P_0=164\ \text{кПа}$ и температуре $T_0=274\ \text{К}$ .

В момент времени $t=0\ \text{с}$ в нижнюю часть сосуда через клапан в его дне начинает медленно поступать холодная вода с постоянным объёмным расходом $q=0{,}004\ \text{л/с}$ . Поступившая вода постоянно перемешивается так, что углекислый газ растворяется в ней до равновесного состояния. Температура воды и газа в обеих частях сосуда поддерживается постоянной и равной $T_0$ . Работа насоса, подающего воду, прекращается в момент, когда давление газа в верхней части сосуда достигает значения $P_{\text{кр}}=410\ \text{кПа}$ .

Когда углекислый газ находится над поверхностью жидкости, масса $\mathrm{CO}_2$ , растворённого при температуре $T_0$ в $1\ \text{м}^3$ жидкости, в равновесном состоянии равна $\mu_{\text{р}}=k\cdot P$ , где $k=3{,}17\cdot10^{-5}\ \text{кг/(Па}\cdot\text{м}^3\text{)}$ , а $P$ — парциальное давление углекислого газа, контактирующего с поверхностью жидкости (закон Генри).

Молярная масса углекислого газа $M=44\ \text{г/моль}$ , универсальная газовая постоянная $R=8{,}31\ \text{Дж/(К}\cdot\text{моль)}$ . Давлением насыщенных паров воды, изменением объёма воды при растворении в ней газа и объёмом клапана пренебречь.

Complete native cylinder,piston,CO2 both compartments,inlet q and g.

1 С какой скоростью и в каком направлении движется поршень в начальный момент времени?

2 Через какое время с момента включения насоса достигается минимальное давление в верхней части сосуда?

3 Определите минимальное давление в верхней части сосуда за время работы насоса.

4 Сколько времени проработал насос до своего выключения?

5 Постройте график зависимости объёма газа в верхней части сосуда от времени. Укажите на нём координаты характерных точек.

Решение

Пусть $V_{\text{в}}$ — объём верхней части сосуда, $V_1$ и $V_2$ — объёмы газа и, соответственно, газированной воды в нижней части сосуда. Так как вода поступает с постоянной скоростью, а суммарный объём сосуда равен $2V_0$ , то

V_2=qt,\qquad V_1=2V_0-V_{\text{в}}-qt.

Рассмотрим случай, когда вода ещё не заполнила всю нижнюю часть сосуда ( $V_1>0$ ). Поршень, разделяющий сосуд, лёгкий и двигается без трения, поэтому давление углекислого газа $P$ по обе стороны от него одинаково. Масса $\mathrm{CO}_2$ , растворённого в воде, согласно закону Генри равна

m_2=\mu_{\text{р}}V_2=kPV_2=kPqt.

В начальный момент массы газа в верхней и нижней частях сосуда равны, следовательно в некоторый момент $t$ масса газа под поршнем

m_1=m_{\text{в}}-m_2=m_{\text{в}}-kPqt,\qquad (*)

где $m_{\text{в}}$ — масса углекислого газа в верхней части сосуда. Запишем теперь уравнения Менделеева–Клапейрона для газа, находящегося по обе стороны от поршня, и, выражая оттуда массы, подставим их в уравнение (*):

\begin{cases}PV_{\text{в}}=m_{\text{в}}RT_0/M,\\PV_1=m_1RT_0/M\end{cases}\Rightarrow\frac{PV_1M}{RT_0}=\frac{PV_{\text{в}}M}{RT_0}-kPqt\Rightarrow

\Rightarrow V_1=V_{\text{в}}-\frac{kRT_0}M\cdot qt.

Отсюда, решая систему, найдём, что

V_{\text{в}}=V_0+\frac{qt}2\left(\frac{kRT_0}M-1\right),\qquad V_1=V_0-\frac{qt}2\left(\frac{kRT_0}M+1\right).\qquad (**)

Поскольку

\frac{kRT_0}M=\frac{3{,}17\cdot10^{-5}\cdot8{,}31\cdot274}{0{,}044}\approx1{,}64>1,

то из первого выражения в (**) следует, что $V_{\text{в}}$ увеличивается с постоянной скоростью, а поршень двигается вниз. Скорость его движения равна

v_{\text{п}}=\frac{\Delta V_{\text{в}}}{S\Delta t}=\frac q{2S}\left(\frac{kRT_0}M-1\right)=\frac{4\ \text{см}^3/\text{с}}{256\ \text{см}^2}(1{,}64-1)\approx0{,}01\ \text{см/с}.

Из второго выражения в (**) следует, что объём газа над поверхностью воды в нижней части сосуда непрерывно уменьшается и в момент времени

t_1=\frac{2V_0}{q(kRT_0/M+1)}=\frac{2\cdot6{,}6\ \text{л}}{0{,}004\ \text{л/с}\cdot(1{,}64+1)}\approx1250\ \text{с}

становится нулевым, весь газ оказывается растворенным в жидкости, а жидкость упирается в поршень. В дальнейшем поступающая вода будет поднимать поршень, а объём газа в верхней части сосуда станет уменьшаться. Процесс, происходящий с газом над поршнем, изотермический, поэтому минимальное давление $P_{\min}$ достигается при максимальном $V_{\text{в}}$ , то есть через время $t=t_1$ после включения насоса.

Максимальный объём верхней части сосуда достигается в момент времени $t_1$ . Найдем этот объем, подставив выражение для $t_1$ в первую формулу (**):

V_{\text{в}\max}=2V_0\cdot\frac{kRT_0/M}{kRT_0/M+1}\approx8{,}2\ \text{л}.

Давление газа над поршнем в этот момент, согласно закону Бойля–Мариотта, равно

P_{\min}=\frac{P_0V_0}{V_{\text{в}\max}}\approx132\ \text{кПа}.

В момент выключения насоса давление газа над поршнем равно $P_{\text{кр}}$ , а объём верхней части сосуда составляет

V_{\text{в}\text{кр}}=\frac{P_0V_0}{P_{\text{кр}}}=\frac{2V_0}5=2{,}64\ \text{л}.

Объём остальной части сосуда, заполненной водой, равен

V_{2\text{кр}}=2V_0-V_{\text{в}\text{кр}}=\frac{8V_0}5.

Отсюда получим, что время работы насоса

t_2=\frac{V_{2\text{кр}}}q=\frac{8V_0}{5q}=2640\ \text{с}.

Исходя из результатов, полученных в предыдущих пунктах, график зависимости $V_{\text{в}}(t)$ имеет вид ломаной, состоящей из двух прямолинейных участков. Вершина ломаной находится в точке с координатами $(t_1;V_{\text{в}\max})$ , а её концы — в точках $(0;V_0)$ и $(t_2;V_{\text{в}\text{кр}})$ . Построим график функции $V_{\text{в}}(t)$ , отметив на нём характерные точки.

Full native blue volume-versus-time graph,all ticks,three labelled coordinates and both straight segments.

Оригинал в Архива: Ru26-T.pdf · решение от архива: Ru26-T.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T1-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-9T2-sheet.pdf · допълнителни данни: Ru26-T-11T1-sheet.pdf