ВсОШ 2026, Road to IPhO — Задача 1. Часть A. Зависимость вязкости от концентрации

В этой задаче исследуется зависимость вязкости смеси глицерина и воды от температуры и их относительной концентрации. Вязкость – это способность жидкости сопротивляться течению. Чем жидкость более вязкая, тем труднее ее прокачать по трубам, а значит, возникает необходимость применять более мощные насосы и более крепкие трубы, рассчитанные на повышенное давление.

Существует несколько способов численного решения уравнений.

Метод простой итерации (МПИ) – один из простейших методов численного решения уравнений. Его удобно использовать для численного нахождения величин, заданных неявно как решение некоторого уравнения. Чтобы решить уравнение с помощью МПИ, его необходимо представить в виде

Подставляя в качестве аргумента функции начальное приближение $x_0$, мы получим первое приближение $x_1$. Далее, подставляя $x_1$ в качестве аргумента функции, мы получим уже второе приближение $x_2$, и т.д. Функцию $f(x)$ всегда можно выбрать так, чтобы разница между последовательными приближениями уменьшалась, а результат вычислений становился всё ближе к правильному ответу. Для этого нужно, чтобы в достаточно большой окрестности правильного ответа производная функции $f(x)$ была по модулю меньше единицы. Если это не так, самый простой способ – переопределить $f(x)$:

Это преобразование инвариантно относительно уравнения (1) и на практике почти всегда позволяет достичь сходимости при должном подборе $a\in\mathbb{R}$.

Поскольку для хранения промежуточного значения в калькуляторе используется переменная Ans, практическая реализация МПИ состоит в том, чтобы приравнять Ans к начальному приближению и начать много раз вычислять $f(\mathrm{Ans})$. При правильном подборе функции $f(x)$ результат вычислений быстро сойдётся к правильному ответу.

Другой популярный метод численного решения уравнений – метод деления отрезка. Чаще всего встречается деление отрезка пополам. Суть метода состоит в последовательном уменьшении отрезка, внутри которого лежит искомое решение уравнения. Для этого на каждой итерации этот отрезок делится на равные части, левая и правая части уравнения вычисляются в полученных точках, и в качестве нового отрезка выбирается тот, на котором разность левой и правой частей меняет знак. В качестве оценки для корня обычно выбирают середину отрезка.

Один из вариантов практической реализации деления отрезка – использование режима Table, который поддерживают некоторые модели калькуляторов. Этот режим позволяет рассчитать значения заданной функции с равным шагом в заданном диапазоне аргумента. Обычно памяти калькулятора хватает на вычисление функции примерно в 20–25 точках, поэтому на каждой итерации можно эффективно делить отрезок примерно в 20 раз.

Температура, при которой некристаллизующееся или не успевающее закристаллизоваться вещество становится твёрдым, переходя в стеклообразное состояние, называется температурой стеклования $T_g$.

Для смеси воды и глицерина зависимость температуры стеклования от массовой доли глицерина $w_g$ можно с хорошей точностью описать многочленом:

Используя данное выражение и зная температуру стеклования, можно определить значение концентрации глицерина.

Считайте известными следующие численные данные:

• Плотность глицерина $\rho_g = 1260\ \mathrm{кг/м^3}$;
• Плотность воды $\rho_w = 1000\ \mathrm{кг/м^3}$;
• Молярная масса глицерина $\mu_g = 92\ \mathrm{г/моль}$;
• Молярная масса воды $\mu_w = 18\ \mathrm{г/моль}$.

Во всех частях задачи вы можете считать объем смеси равным сумме объемов составляющих этой смеси компонент.