Съдържание

ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10-1. Опять 45?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2026

Внимание: Бележка към темата

Полный73страничный оригинал лично прочитан.23целые задачи разных классов,57номерованных частей и3единых ненумерованных запроса; все доступные методы решения и исходные фигуры сохранены. Ошибки печатного ключа и отсутствующие отдельные сдаваемые листы честно обозначены. Ключ атрибутирован архиву.

Министерство просвещения Российской Федерации — Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике. Теоретический тур. Москва2026.

Авторы задач — Экспериментальный тур

7-T1 — Александр Евсеев
7-T2 — Никита Богословский
7-T3 — Александр Евсеев
7-T4 — Антон Сорокин
8-T1 — Александр Евсеев, Сергей Абдрашитов
8-T2 — Олег Порошин
8-T3 — Ольга Инишева
8-T4 — Денис Рубцов
9-T1 — Александр Ершов
9-T2 — Денис Рубцов
9-T3 — Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4 — Александр Аполонский, Антон Вергунов
9-T5 — Денис Рубцов, Александр Ершов
10-T1 — Григорий Расторгуев, Иван Гурьянов
10-T2 — Александр Аполонский, Александр Киреев
10-T3 — Николай Янушкевич
10-T4 — Александр Аполонский, Иван Юдин
10-T5 — Алексей Заяц
11-T1 — Иван Гурьянов
11-T2 — Николай Янушкевич
11-T3 — Денис Рубцов
11-T4 — Григорий Расторгуев
11-T5 — Александр Воронцов

Примечание читателя: заголовок «Экспериментальный тур» переписан буквально со страницы авторов; обложка, колонтитулы и обозначения T определяют этот пакет как теоретический. Отдельный экспериментальный оригинал Ru26-R-E.pdf к этому источнику не относится.

Подготовка к олимпиадам — исходные ссылки

Физтех-регионам МФТИ предлагает лекции, семинары и тематические задачи для всех классов в открытом бесплатном доступе: os.mipt.ru.

Видеорешения задач регионального этапа: os-lms.mipt.ru.

Исходный QR-код ведет на указанную в оригинале страницу.

Условие

В фантастических фильмах иногда показывают, как НЛО захватывает тела на земле с помощью «притягивающего луча» (англ. «tractor beam»). Предположим, он устроен таким образом, что в небольшой вертикальной области пространства на любое произвольное тело массой $m$ со стороны него действует сила $\vec F_{\text{tb}}=-2m\vec g$ , направленная противоположно силе тяжести и вдвое превосходящая её по модулю (сила тяжести действовать, конечно, не перестаёт). Экспериментатору Глюку приснилось, что он оказался на расстоянии $l$ от такой области, ширина которой тоже $l$ (см. рисунок).

Исходная вертикальная область притягивающего луча, расстояние l и ширина l, земля и НЛО

Считайте, что камень не отскакивает от земли, а НЛО находится так высоко, что камень ни при каких условиях не может в него попасть. Поверхность земли горизонтальна. Ускорение свободного падения $g$ .

1 С какой минимальной скоростью $v_{\text{m1}}$ Глюк должен бросить камень с поверхности земли, чтобы он достиг притягивающего луча?

2 С какой минимальной скоростью $v_{\text{m2}}$ Глюк должен бросить камень, чтобы он пролетел область, ограниченную лучом, насквозь?

3 Какова максимальная дальность броска $L_{\text{m2}}$ , если начальная скорость камня равна $v_0$ ( $v_0\ge v_{\text{m2}}$ )?

4 Найдите максимальную дальность броска $L_{\text{m3}}$ в случае $v_0=v_{\text{m2}}$ .

Решение

Пока камень не долетел до притягивающего луча, он движется с постоянным ускорением $\vec g$ . Дальность полёта камня, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту равна

l_0=\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}g=\frac{v_0^2\sin2\alpha}g.

Это выражение принимает максимальное значение при $\alpha=45^\circ$ , следовательно

v_{\text{m1}}=\sqrt{gl}.

Направим ось $OX$ горизонтально, а ось $OY$ — вертикально вверх; в качестве начала отсчёта $O$ выберем положение Глюка. Левую и правую (по ходу полёта камня) границы области, ограниченной притягивающим лучом, пронумеруем1 и2 соответственно (см. рисунок). Ясно, что внутри луча камень движется с ускорением $-\vec g$ , и если он пересекает границу1 так, что проекция его скорости $v_y\ge0$ , то камень достигнет и границы2. Этому соответствует условие

v_0\sin\alpha-gt_1\ge0,

где $t_1=l/(v_0\cos\alpha)$ , а $\alpha$ — угол между $\vec v_0$ и горизонтом. Следовательно, чтобы пролететь область, ограниченную лучом, насквозь, заведомо достаточно скорости

v'_{\text{m2}}=\sqrt{\frac{2gl}{\sin2\alpha}}.

Проверим, что $v_{\text{2m}}<v'_{\text{m2}}$ . Характерная для такого случая траектория камня приведена на рисунке. Её участок левее границы2 обладает центральной симметрией относительно точки пересечения границы1. Пусть $H$ — наибольшая высота подъёма камня на участке слева от луча, а $h$ — высота, на которой камень пересекает границу1.

Исходная траектория с центральной симметрией: все оси, высоты H и h, границы1 и2, векторы и полная подпись

Из сказанного выше следует (см. рисунок), что для того, чтобы камень достиг границы2, достаточно

H-h<h\Rightarrow h>H/2.

Из закона равноускоренного движения следует, что

H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g},\qquad h=y(l)=\operatorname{tg}\alpha\cdot l-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\cdot l^2.

Тогда условие $h>H/2$ может быть приведено к виду

\frac{8g^2l^2}{\sin^22\alpha}-\frac{8gl}{\sin2\alpha}\cdot v_0^2+v_0^4<0.

Выделим в этом выражении полный квадрат:

\left(\frac{4gl}{\sin2\alpha}-v_0^2\right)^2-\frac{8g^2l^2}{\sin^22\alpha}<0.

Откуда выразим $v_0^2$ (напомним, что нас интересуют значения $v_0^2<2gl/\sin2\alpha$ , так что выражение в скобках положительно):

v_0^2>\frac{4gl}{\sin2\alpha}-\frac{2\sqrt2gl}{\sin2\alpha}=\frac{2(2-\sqrt2)gl}{\sin2\alpha}.

Правая часть меньше $v'_{\text{2m}}$ и достигает минимального значения при $\alpha=45^\circ$ , следовательно

v_{\text{m2}}=\sqrt{2(2-\sqrt2)lg}\approx\sqrt{1{,}17lg}.

Горизонтальная компонента скорости камня неизменна, следовательно участки слева от притягивающего луча и внутри него камень проходит за одно время

t_0=t_1=\frac{l}{v_0\cos\alpha}.

Найдём скорость камня при пересечении границы2

\vec v_2=\vec v_0+\vec gt_0-\vec gt_1=\vec v_0.

Из соображений симметрии (см. рисунок) следует, что камень пересекает границу2 на высоте $2h$ . Время $t_2$ , за которое он после этого упадёт на землю,

2h+v_0\sin\alpha\cdot t_2-\frac{gt_2^2}2=0,

откуда

t_2=\frac{v_0\sin\alpha}g+\sqrt{\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{g^2}+\frac{4h}g}.

Исходная траектория после выхода из луча: скорость v2=v0, высоты h и2h, угол beta=alpha и полная подпись

Этому соответствует горизонтальное смещение

l_2=v_0\cos\alpha\cdot t_2=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{2g}+ \sqrt{\left(\frac{v_0^2\sin2\alpha}{2g}\right)^2+\frac{4hv_0^2\cos^2\alpha}g}.

Подставим в это выражение

h=l\operatorname{tg}\alpha-\frac{gl^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}

и получим

l_2=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{2g}+ \sqrt{\left(\frac{v_0^2\sin2\alpha}{2g}\right)^2+\frac{2lv_0^2\sin2\alpha}g-2l^2}.

Выделим в подкоренном выражении полный квадрат

l_2=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{2g}+ \sqrt{\left(2l+\frac{v_0^2\sin2\alpha}{2g}\right)^2-6l^2}.

$l_2$ монотонно возрастает при увеличении $\sin2\alpha$ , следовательно достигает максимального значения при $\alpha=45^\circ$ :

l_{\text{m2}}=\frac{v_0^2}{2g}+\sqrt{\left(2l+\frac{v_0^2}{2g}\right)^2-6l^2}.

Искомое расстояние $L_{\text{m2}}=2l+l_{\text{m2}}$ .

L_{\text{m2}}=2l+\frac{v_0^2}{2g}+\sqrt{\left(2l+\frac{v_0^2}{2g}\right)^2-6l^2}.

Поскольку и $v_{\text{m2}}$ , и $L_{\text{m2}}$ соответствуют броску под углом в $45^\circ$ , достаточно подставить $v_0^2=2(2-\sqrt2)gl$ в выражение для $L_{\text{m2}}$ . Получим

L_{\text{m3}}=\left(4-\sqrt2+\sqrt{12-8\sqrt2}\right)l

или после преобразований

L_{\text{m3}}=(2+\sqrt2)l\approx3{,}41l.

Примечание читателя: ключ чередует нижние индексы $\text{m2}$ и $\text{2m}$ , а в сравнении после неравенства для $v_0^2$ напечатано сравнение «Правая часть меньше $v'_{\text{2m}}$ ». Эти буквальные обозначения сохранены.

Примечание читателя: полный исходный пакет и отдельные листы

Лично прочитаны все73страницы: обложка и авторы1–2, условия3–21, все доступные возможные решения22–73. Сохранены23целые задачи пяти классов и57печатных номерованных запросов; еще три задачи имеют единый ненумерованный запрос. Каждый класс и каждое самостоятельное исходное задание сохранены отдельно. Ключ11-T2 сам ссылается на10-T3, полное указанное решение присутствует в этом же оригинале и приведено у обеих задач. Архивная атрибуция ключа сохранена; отдельная официальная публикация этого PDF организатором не установлена.

Условие термистора требует сдаваемого отдельного листа с двумя экземплярами графика, а условие цилиндра — отдельной масштабной фотографии для построений. Данный полный пакет содержит один график на странице17, фотографию21 и фотографию с построениями72, но не включает отдельные сдаваемые листы. В полученном полном текущем каталоге папки только теоретический и отдельно принадлежащий экспериментальный PDF. Необретенные отдельные листы не изготовлены и не объявлены полученными. Все имеющиеся изображения сохранены без перерисовки. Печатные ошибки и незавершенная фраза ключа отдельно обозначены в соответствующих решениях.

Оригинал в Архива: Ru26-R-T.pdf · решение от архива: Ru26-R-T.pdf