Съдържание

ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11-2. Клейкая лента

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2026

Внимание: Бележка към темата

Полный73страничный оригинал лично прочитан.23целые задачи разных классов,57номерованных частей и3единых ненумерованных запроса; все доступные методы решения и исходные фигуры сохранены. Ошибки печатного ключа и отсутствующие отдельные сдаваемые листы честно обозначены. Ключ атрибутирован архиву.

Министерство просвещения Российской Федерации — Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике. Теоретический тур. Москва2026.

Авторы задач — Экспериментальный тур

7-T1 — Александр Евсеев
7-T2 — Никита Богословский
7-T3 — Александр Евсеев
7-T4 — Антон Сорокин
8-T1 — Александр Евсеев, Сергей Абдрашитов
8-T2 — Олег Порошин
8-T3 — Ольга Инишева
8-T4 — Денис Рубцов
9-T1 — Александр Ершов
9-T2 — Денис Рубцов
9-T3 — Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4 — Александр Аполонский, Антон Вергунов
9-T5 — Денис Рубцов, Александр Ершов
10-T1 — Григорий Расторгуев, Иван Гурьянов
10-T2 — Александр Аполонский, Александр Киреев
10-T3 — Николай Янушкевич
10-T4 — Александр Аполонский, Иван Юдин
10-T5 — Алексей Заяц
11-T1 — Иван Гурьянов
11-T2 — Николай Янушкевич
11-T3 — Денис Рубцов
11-T4 — Григорий Расторгуев
11-T5 — Александр Воронцов

Примечание читателя: заголовок «Экспериментальный тур» переписан буквально со страницы авторов; обложка, колонтитулы и обозначения T определяют этот пакет как теоретический. Отдельный экспериментальный оригинал Ru26-R-E.pdf к этому источнику не относится.

Подготовка к олимпиадам — исходные ссылки

Физтех-регионам МФТИ предлагает лекции, семинары и тематические задачи для всех классов в открытом бесплатном доступе: os.mipt.ru.

Видеорешения задач регионального этапа: os-lms.mipt.ru.

Исходный QR-код ведет на указанную в оригинале страницу.

Условие

Длинная клейкая лента шириной $d=2\text{ см}$ приклеена к горизонтальной поверхности стола. Известно, что для того, чтобы оторвать единицу площади такой ленты от стола, нужно совершить работу $\sigma=10\text{ Дж/м}^2$ (считайте, что эта величина не зависит от угла, под которым тянут ленту). Лента является невесомой и нерастяжимой.

Исходный рисунок задачи11-T2: стол, лента, угол alpha, блок, высота H и груз m

Ускорение свободного падения примите равным $g=10\text{ м/с}^2$ .

1 Под каким углом к горизонту и в каком направлении следует тянуть за конец ленты, чтобы сила, при которой лента начнёт отрываться от стола, была минимальной?

2 Один из концов ленты частично оторвали от стола и прикрепили к нему невесомую нить, переброшенную через маленький (по сравнению с длинами нити и ленты) невесомый блок, расположенный на высоте $H=1\text{ м}$ , как показано на рисунке. При этом угол между нитью и горизонтом составил $\alpha_1=45^\circ$ . К другому концу нити прикрепили груз. При какой максимальной массе груза $m$ система будет покоиться?

3 К первому грузу с максимально возможной массой $m$ из предыдущего пункта прикрепили второй с неизвестной массой $M$ и отпустили без начальной скорости. Лента стала отрываться, и система пришла в движение. Спустя некоторый промежуток времени грузы остановились, а наклонный участок ленты оказался под углом $\alpha_2=30^\circ$ к горизонту. Найдите массу второго груза $M$ , расстояние $\Delta h$ , на которое в результате сместились грузы, а также модули ускорений грузов в момент начала движения $a_1$ и в момент остановки $a_2$ .

Решение

См. решение задачи №10-T3.

Примечание читателя: это полный текст собственного ключа11-T2 на странице63. Ниже воспроизведено указанное самим оригиналом решение10-T3 со страниц52–54 того же пакета. Задачи разных классов сохранены отдельно.

Когда приложенная сила $F$ постоянна по величине и направлению, угол наклона оторванной части ленты $\alpha$ также постоянен. Если внешняя сила достаточна по величине и приводит к отрыву части ленты малой длины $\Delta l$ , точка, к которой приложена внешняя сила, перемещается на расстояние $\Delta x$ , совершая при этом работу, которую можно связать с величиной $\sigma$ и площадью ленты оторвавшейся части ленты $\Delta S=d\cdot\Delta l$ :

\Delta A=\Delta x\cdot F=\sigma\cdot\Delta S=\sigma\cdot d\cdot\Delta l.\qquad (1)

Исходная геометрия отрыва ленты: угол alpha, оторванная длина delta-l, перемещение delta-x и вектор F

Перемещение точки приложения силы $\Delta x$ может быть выражено через $\Delta l$ и $\alpha$ :

\Delta x=\Delta l\cdot(1-\cos\alpha).\qquad (2)

Подставляя(2) в(1), получаем выражение для силы $F=F(\alpha)$ , необходимой для отрывания ленты от стола под некоторым углом:

F=\frac{\sigma d}{1-\cos\alpha}.

Сила принимает минимальное значение при максимальном знаменателе $1-\cos\alpha=2$ , то есть при $\alpha=\pi$ .

Теперь рассмотрим второй случай. Силы натяжения ленты и нити равны по модулю, так что будем их обозначать $T$ . Из условия равновесия груза $T=mg$ .

Очевидно, что если сила натяжения $T$ не превышает силу отрыва ленты для угла $\alpha_1$ , то лента не будет отрываться и система будет покоиться. Максимальная сила $T$ , которая может быть достигнута при равновесии системы $T=\sigma d/(1-\cos\alpha_1)$ . Тогда масса груза равна

m=\frac{\sigma d}{(1-\cos\alpha_1)\cdot g}\approx0{,}068\text{ кг}.

Теперь рассмотрим случай добавления груза массой $M$ . Для начала определим длину участка ленты $\Delta L$ , который оторвался от стола до момента остановки грузов. Его можно выразить через высоту блока $H$ и углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ :

\Delta L=\frac{H}{\operatorname{tg}\alpha_2}-\frac{H}{\operatorname{tg}\alpha_1}\approx0{,}732\cdot H=0{,}732\text{ м}.

Для нахождения $\Delta h$ используем условие на сохранение полной длины нити и ленты (ввиду их нерастяжимости):

\Delta L+L_1=L_2+\Delta h,

где $L_1=H/\sin\alpha_1$ и $L_2=H/\sin\alpha_2$ — это расстояния от блока до точки отрыва ленты от стола в начальный и конечный момент соответственно. Тогда

\begin{aligned} \Delta h&=\frac{H}{\operatorname{tg}\alpha_2}-\frac{H}{\operatorname{tg}\alpha_1}+\frac{H}{\sin\alpha_1}-\frac{H}{\sin\alpha_2}\\ &=H\left(\frac{1-\cos\alpha_1}{\sin\alpha_1}-\frac{1-\cos\alpha_2}{\sin\alpha_2}\right)\approx0{,}146\cdot H=0{,}146\text{ м}. \end{aligned}

Положение, в котором остановится система, определяется законом изменения полной механической энергии: изменение потенциальной энергии груза (кинетическая энергия в крайних положениях равна нулю) равно работе по отрыву ленты:

(m+M)g\cdot\Delta h=A=\sigma d\Delta L.

Отсюда

M=\frac{\sigma d\Delta L}{g\Delta h}-m\approx0{,}032\text{ кг}=32\text{ г}.

Ускорения грузов в начальный и конечный моменты времени находятся из второго закона Ньютона:

(m+M)a_1=(m+M)g-T(\alpha_1)

или

(m+M)a_1=(m+M)g-\frac{\sigma d}{1-\cos\alpha_1}.

Искомые значения:

a_1=g-\frac{\sigma d}{(m+M)(1-\cos\alpha_1)}\approx3{,}2\text{ м/с}^2,

a_2=\frac{\sigma d}{(m+M)(1-\cos\alpha_2)}-g\approx4{,}9\text{ м/с}^2.

Заметим, что после остановки ускорения грузов будут равны нулю.

Примечание читателя: полный исходный пакет и отдельные листы

Лично прочитаны все73страницы: обложка и авторы1–2, условия3–21, все доступные возможные решения22–73. Сохранены23целые задачи пяти классов и57печатных номерованных запросов; еще три задачи имеют единый ненумерованный запрос. Каждый класс и каждое самостоятельное исходное задание сохранены отдельно. Ключ11-T2 сам ссылается на10-T3, полное указанное решение присутствует в этом же оригинале и приведено у обеих задач. Архивная атрибуция ключа сохранена; отдельная официальная публикация этого PDF организатором не установлена.

Условие термистора требует сдаваемого отдельного листа с двумя экземплярами графика, а условие цилиндра — отдельной масштабной фотографии для построений. Данный полный пакет содержит один график на странице17, фотографию21 и фотографию с построениями72, но не включает отдельные сдаваемые листы. В полученном полном текущем каталоге папки только теоретический и отдельно принадлежащий экспериментальный PDF. Необретенные отдельные листы не изготовлены и не объявлены полученными. Все имеющиеся изображения сохранены без перерисовки. Печатные ошибки и незавершенная фраза ключа отдельно обозначены в соответствующих решениях.

Оригинал в Архива: Ru26-R-T.pdf · решение от архива: Ru26-R-T.pdf