Съдържание

ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11-3. Быстрые поршни

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2026

Внимание: Бележка към темата

Полный73страничный оригинал лично прочитан.23целые задачи разных классов,57номерованных частей и3единых ненумерованных запроса; все доступные методы решения и исходные фигуры сохранены. Ошибки печатного ключа и отсутствующие отдельные сдаваемые листы честно обозначены. Ключ атрибутирован архиву.

Министерство просвещения Российской Федерации — Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике. Теоретический тур. Москва2026.

Авторы задач — Экспериментальный тур

7-T1 — Александр Евсеев
7-T2 — Никита Богословский
7-T3 — Александр Евсеев
7-T4 — Антон Сорокин
8-T1 — Александр Евсеев, Сергей Абдрашитов
8-T2 — Олег Порошин
8-T3 — Ольга Инишева
8-T4 — Денис Рубцов
9-T1 — Александр Ершов
9-T2 — Денис Рубцов
9-T3 — Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4 — Александр Аполонский, Антон Вергунов
9-T5 — Денис Рубцов, Александр Ершов
10-T1 — Григорий Расторгуев, Иван Гурьянов
10-T2 — Александр Аполонский, Александр Киреев
10-T3 — Николай Янушкевич
10-T4 — Александр Аполонский, Иван Юдин
10-T5 — Алексей Заяц
11-T1 — Иван Гурьянов
11-T2 — Николай Янушкевич
11-T3 — Денис Рубцов
11-T4 — Григорий Расторгуев
11-T5 — Александр Воронцов

Примечание читателя: заголовок «Экспериментальный тур» переписан буквально со страницы авторов; обложка, колонтитулы и обозначения T определяют этот пакет как теоретический. Отдельный экспериментальный оригинал Ru26-R-E.pdf к этому источнику не относится.

Подготовка к олимпиадам — исходные ссылки

Физтех-регионам МФТИ предлагает лекции, семинары и тематические задачи для всех классов в открытом бесплатном доступе: os.mipt.ru.

Видеорешения задач регионального этапа: os-lms.mipt.ru.

Исходный QR-код ведет на указанную в оригинале страницу.

Условие

Два одинаковых вертикальных тонкостенных цилиндрических сосуда внутреннего радиуса $r$ , в которых под поршнями находятся равные количества идеального газа, поставили в комнату с температурой воздуха $T_0$ . В одном сосуде газ имеет температуру $T_{\text{х}}<T_0$ , а в другом — температуру $T_{\text{г}}>T_0$ . Поршень и дно цилиндров теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки прямо пропорциональна произведению площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды: $N=\alpha S\Delta T$ , где $\alpha$ — некоторая константа. Атмосферное давление $p_0$ , поршни легкие. Молярная теплоемкость газа в сосудах при постоянном давлении $C_p$ . Известно, что максимальные скорости, с которыми двигались поршни каждого из цилиндров вплоть до установления в них комнатной температуры равны по модулю ( $v_{\text{х}}^{\max}=v_{\text{г}}^{\max}$ ). Выразите $T_{\text{г}}$ через $T_0$ и $T_{\text{х}}$ .

Решение

Поскольку поршни лёгкие и могут перемещаться без трения, давление внутри и снаружи одинаковое (равно $p_0$ ). Объём газа под поршнем $V=\pi r^2h$ , где $h$ — высота расположения поршня. Уравнение Менделеева–Клапейрона для газа внутри цилиндра

p_0\pi r^2h=\nu RT.

Для малых изменений высоты и температуры

p_0\pi r^2\,dh=\nu R\,dT,

где $dh=v\,dt$ .

Изменение температуры газа происходит изобарически. Уравнение теплового баланса для малого промежутка времени $\alpha h2\pi r(T_0-T)\,dt=\nu C_p\,dT$ .

Из трёх записанных уравнений находим связь скорости и температуры:

v=\frac{2\alpha\nu R^2}{\pi C_pp_0^2r^3}\cdot T(T_0-T).

Иначе

v(T)=aT(T_0-T),

где $a=(2\alpha\nu R^2)/(\pi C_pp_0^2r^3)=\text{const}$ .

Графическое отображение полученной зависимости — парабола, пересекающая ось абсцисс в точках0 и $T_0$ . Для горячего цилиндра максимальное значение скорости достигается в начальной точке движения при $T=T_{\text{г}}$ и равно по модулю

v_{\text{г}}^{\max}=aT_{\text{г}}(T_{\text{г}}-T_0).

Исходная парабола скорости поршня от температуры: обе ветви, максимум при T0/2 и уровни максимальных скоростей

Для холодного цилиндра максимальное значение скорости не определяется однозначно. При $T_{\text{х}}\ge T_0/2$ оно также достигается в начальной точке движения при $T=T_{\text{х}}$ и равно

v_{\text{х}}^{\max}=aT_{\text{х}}(T_0-T_{\text{х}}).

Если $T_{\text{х}}<T_0/2$ , то максимум скорости соответствует значению $T=T_0/2$ (вершина параболы) и равен

v_{\text{х}}^{\max}=aT_0^2/4.

Приравнивая выражения для скоростей $v_{\text{г}}^{\max}=v_{\text{х}}^{\max}$ , находим искомое.

При $T_{\text{х}}\ge T_0/2$ получим $T_{\text{г}}(T_{\text{г}}-T_0)=T_{\text{х}}(T_0-T_{\text{х}})$ . Решаем квадратное уравнение (относительно $T_{\text{г}}$ ):

T_{\text{г}}^2-T_{\text{г}}T_0-T_{\text{х}}(T_0-T_{\text{х}})=0,

оставляем только положительный корень.

Итак:

T_{\text{г}}=\frac{T_0+\sqrt{T_0^2+4T_{\text{х}}(T_0-T_{\text{х}})}}2.

При $T_{\text{х}}<T_0/2$ получим $T_{\text{г}}(T_{\text{г}}-T_0)=T_0^2/4$ . Решаем квадратное уравнение (относительно $T_{\text{г}}$ ):

T_{\text{г}}^2-T_{\text{г}}T_0-T_0^2/4=0,

оставляем только положительный корень.

Итак:

T_{\text{г}}=T_0\cdot\frac{1+\sqrt2}2.

T_{\text{г}}=\begin{cases} T_0\cdot\frac{1+\sqrt2}2,&\text{если }T_{\text{х}}<T_0/2;\\ \frac{T_0+\sqrt{T_0^2+4T_{\text{х}}(T_0-T_{\text{х}})}}2,&\text{если }T_{\text{х}}\ge T_0/2. \end{cases}

Примечание читателя: полный исходный пакет и отдельные листы

Лично прочитаны все73страницы: обложка и авторы1–2, условия3–21, все доступные возможные решения22–73. Сохранены23целые задачи пяти классов и57печатных номерованных запросов; еще три задачи имеют единый ненумерованный запрос. Каждый класс и каждое самостоятельное исходное задание сохранены отдельно. Ключ11-T2 сам ссылается на10-T3, полное указанное решение присутствует в этом же оригинале и приведено у обеих задач. Архивная атрибуция ключа сохранена; отдельная официальная публикация этого PDF организатором не установлена.

Условие термистора требует сдаваемого отдельного листа с двумя экземплярами графика, а условие цилиндра — отдельной масштабной фотографии для построений. Данный полный пакет содержит один график на странице17, фотографию21 и фотографию с построениями72, но не включает отдельные сдаваемые листы. В полученном полном текущем каталоге папки только теоретический и отдельно принадлежащий экспериментальный PDF. Необретенные отдельные листы не изготовлены и не объявлены полученными. Все имеющиеся изображения сохранены без перерисовки. Печатные ошибки и незавершенная фраза ключа отдельно обозначены в соответствующих решениях.

Оригинал в Архива: Ru26-R-T.pdf · решение от архива: Ru26-R-T.pdf