Съдържание

ВсОА 1997, Заключителен етап, 8–11 клас, теория — Задача 11.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 1997

IV Российская олимпиада школьников по астрономии и космической физике. Условия задач теоретического тура. г. Троицк, 7-11 апреля 1997 г. · 7 април 1997 г.

Условие

Звезда находится на расстоянии $R_o = 8$ кпк от центра сферической галактики и имеет скорость V. = 450 км/с, направленную строго от центра. Полный радиус галактики $R_g = 30$ кпк. Круговая скорость (т.е. скорость движения по круговой орбите) на расстояниях 8 и 30 килопарсек равна соответственно $V_o = 250$ км/с и $V_g = 150$ км/с. На какое максимальное расстояние от центра галактики удалится звезда? Какую скорость должна иметь звезда, чтобы навсегда покинуть галактику? При вычислениях для простоты считать, что сила притяжения в галактике в интервале расстояний от $R_o$ до $R_g$ изменяется по линейному закону.

Отговори

Решение

Максимальное удаление звезды от центра галактики можно найти, используя закон сохранения энергии. Удаляясь от центра галактики, звезда теряет скорость, преодолевая силу притяжения галактики, то есть совершая работу против сил тяготения. Работа, совершенная звездой против силы тяготения в интервале от $R_o$ до $R_g$ , равна площади трапеции, заключенной под прямолинейным участком графика зависимости силы от расстояния, то есть

A(R_o, R_g) = \frac{(R_g - R_o)\cdot(F_g - F_o)}{2},

где $F_g$ и $F_o$ – значения силы притяжения на расстояниях $R_g$ и $R_o$ соответственно. Легко понять, что на круговых орбитах

\frac{F_g}{m} = \frac{V_g^2}{R_g},\quad \frac{F_o}{m} = \frac{V_o^2}{R_o},

где m – масса звезды. Работа, совершенная звездой против силы тяготения в интервале между $R_g$ и $R_{\max}$ (максимальным расстоянием от центра галактики), где гравитационная сила изменяется по закону $1/r^2$ , равна разности значений потенциальной энергии

A(R_g, R_{\max}) = \frac{GMm}{R_g} - \frac{GMm}{R_{\max}},

где G – гравитационная постоянная, а M – полная масса галактики, с другой стороны, известно, что

GM = R_g\cdot V_g^2.

Тогда максимальное расстояние $R_{\max}$ вычисляется с помощью выражения

\frac{mV_*^2}{2} = \frac{(R_g - R_o)\cdot(F_g - F_o)}{2} + GMm\left(\frac{1}{R_g} - \frac{1}{R_{\max}}\right);

V_*^2 = (R_g - R_o)\cdot\left(\frac{V_g^2}{R_g} + \frac{V_o^2}{R_o}\right) + 2V_g^2\left(1 - \frac{R_g}{R_{\max}}\right)

Подставив в это выражение численные значения из условия задачи (при этом заметим, что в систему СИ переходить вовсе не обязательно), получим:

R_{\max} \approx 43{,}7\ \text{кпк}

Чтобы навсегда покинуть галактику, звезда должна иметь такую скорость V, чтобы

V^2 \ge (R_g - R_o)\cdot\left(\frac{V_g^2}{R_g} + \frac{V_o^2}{R_o}\right) + 2V_g^2

Вычисления дают, что критическая скорость:

v_2 \approx 483\ \text{км/с}.

Оригинал в Архива: prob1997teor.pdf · официални решения: sol1997teor.pdf