Съдържание

ВсОА 1999, Заключителен етап — Задача 17. 11 класс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 1999

VI Российская олимпиада школьников по астрономии и космической физике. Условия задач · 24 март 1999 г.

Условие

Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса $R_0 = 10000$ км обращается космический корабль с орбитальной скоростью $V_o = 12$ км/с. В некоторый момент скорость корабля увеличили на $\Delta V = 3$ км/с без изменения её направления.

а) Чему стали равны после этого периастр и апоастр орбиты корабля?

б) Чему равна скорость корабля в апоастре.

в) Найдите массу планеты.

Отговори

Решение

Как известно, круговая скорость спутника вычисляется по формуле

V_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}},

где $M$ – масса планеты, $R_0$ – радиус орбиты спутника. Отсюда получаем

M = \frac{V_0^2 R}{G} \approx 2.2\cdot 10^{25}\ \text{кг}

Очевидно, что после того как спутнику была добавлена скорость, он сошел с круговой орбиты. Поскольку вторая космическая скорость для данной планеты равна $\sqrt{2}V_0 = 17\ \text{км/с}$ , а скорость спутника после приращения равна 15 км/с, то новая орбита спутника будет эллипс с расстоянием перицентра $r_p = R_0$ и скоростью в перицентре $V_p = 15$ км/с.

Из закона сохранения момента импульса получаем:

V_a r_a = V_p r_p,

где $V_a$ – скорость спутника в апоцентре, а $r_a$ – расстояние апоцентра. Из закона сохранения энергии получаем:

\frac{V_a^2}{2} - \frac{GM}{r_a} = \frac{V_p^2}{2} - \frac{GM}{r_p};

V_a^2 - 2\frac{V_0^2}{V_p}V_a + 2V_0^2 - V_p^2 = 0;

Решая это уравнение получаем $V_a = 15$ км/с и $V_a = 4.2$ км/с. Первое решение, очевидно, относится к перицентру и не является ответом на задачу.

Осталось вычислить расстояние перицентра.

r_a = r_p\frac{V_p}{V_a} \approx 36000\ \text{км}.

Оригинал в Архива: prob1999teor.pdf · официални решения: sol1999teor.pdf