Съдържание

ВсОА 2000, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 14. № 6 для 11 класса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2000

VII Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса. Первый тур · 7 април 2000 г.

Условия задач для 8-9 класса, 10 класса и 11 класса. Первый тур.

При решении любой задачи можно пользоваться данными Таблицы Солнечной системы.

Условие

Две звезды имеют одинаковую массу, одинаковую плотность и одинаковое давление в центре. Однако, у одной из звёзд ядро состоит из нормальной смеси ионизованных водорода и гелия (количество атомов гелия примерно в 10 раз меньше, чем атомов водорода), а во второй - целиком из полностью ионизованного углерода. Если температура в ядре первой звезды составляет $2\cdot 10^7$ К, то чему она равна в ядре второй звезды?

Газ считать идеальным. Число протонов в ядрах атомов: H – 1, He – 2, C – 6.

Атомные веса ядер атомов $A_H = 1$ , $A_{He} = 4$ , $A_C = 12$ .

Отговори

Решение

Газ в ядре представляет собой смесь электронов и ионизованных атомов (ионов). Полное давление газа в звезде равно сумме давления электронного газа $P_e$ и ионного газа $P_{\text{и}}$ , то есть

P = P_e + P_{\text{и}}.

Для идеальных газов

P_e = n_e kT,\qquad P_{\text{и}} = n_{\text{и}}kT,\qquad P = (n_e + n_{\text{и}})kT,

где $n_e$ и $n_{\text{и}}$ - концентрации электронов и ионов соответственно. Для оценки их относительных значений учтём, что в нейтральном атоме число протонов и электронов равны. Поскольку все атомы полностью ионизованы, на каждый атом приходится столько свободных электронов, сколько протонов содержит его ядро, то есть, каждый атом водорода дает один электрон, гелия - 2, а углерода - 6 электронов. Поэтому, если обозначить через $n_{\text{н}}$ , $n_{He}$ и $n_c$ концентрации ионов водорода, гелия и углерода соответственно, то полные давления $P_e + P_{\text{и}}$ будут равны:

для водородо-гелиевого ядра звезды:

P_1 = (n_{\text{н}} + n_{He})\,\text{к}T_1 + (n_{He} + 2n_{He})\,\text{к}T_1 - (2n_{\text{н}} + 0{,}3\,n_{\text{н}})\,\text{к}T_1 = 2{,}3\,n_{\text{н}}\,kT_1,

а для углеродного ядра:

P_2 = (n_c + 6n_c)\,kT_2 = 7\,n_c\,kT_2.

Теперь надо найти связь между концентрациями $n_{\text{н}}$ и $n_c$ . По условию задачи, плотности вещества в ядрах двух звёзд одинаковы. Поскольку практически вся масса вещества находится в ядрах атомов, плотность $\rho$ каждого вещества равна концентрации ионов, умноженной на массу иона, которая пропорциональна атомному весу элемента. Таким образом получаем:

A_H\cdot n_{\text{н}} + A_{He}\cdot n_{He} = A_c\cdot n_c \quad\text{или}\quad n_{\text{н}}\cdot(1 + 4\cdot 0{,}1) = 12\,n_c,\quad \text{откуда}\ n_H \approx 8{,}6\,n_c.

Наконец, из равенства давлений $P_1 = P_2$ , получаем:

2{,}3\cdot n_H\cdot kT_1 = 7\cdot n_c\cdot kT_2.

Сокращая k и учитывая, что $n_{\text{н}} \sim 8{,}6\,n_c$ , получаем, что $T_2 \approx 2{,}8\,T_1$ .

Ответ: ядро углеродной звезды имеет температуру $5{,}6\cdot 10^7$ К.

Оригинал в Архива: prob2000teor.pdf · официални решения: sol2000teor.pdf