ВсОА 2000, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 13. № 5 для 11 класса

• 0.13

  $e = (T_2-T_1)/(T_1+T_2)$

Период обращения велик по сравнению со временем затмений. Это значит, что участки орбит, на которых происходят затмения, малы по сравнению с соответствующими расстояниями до общего фокуса (центра масс системы), следовательно, их можно считать прямолинейными, а скорости компонент на этих участках - постоянными. Кроме того, эти участки орбит расположены вблизи периастров и апоастров орбит. Так как в двойных системах эксцентриситеты орбит обеих звёзд равны, то выберем для рассмотрения одну из них.

Рассмотрим компонент меньшего размера (см. рис.) во время прохождения по диску второй звезды. Пунктиром очерчена зона, проецирующаяся на вторую звезду для бесконечно удаленного наблюдателя. Центры обеих звёзд всегда будут находиться на одной прямой - по разные стороны от центра масс системы (фокуса орбит). Поэтому скорости движения звёзд по орбитам обратно пропорциональны их массам: $k = m_1/m_2 = v_2/v_1$ (относительно центра масс). Отсюда время прохождения второй звезды по диску первой

где $v_1$, $v_2$, $D_1$ - скорости звезд в апоастрах своих орбит и диаметр большой звезды.

Аналогично поступаем с затмением второй звезды первой звездой:

где $u_1$, $u_2$ – скорости звёзд в периастрах своих орбит. Соотношения между скоростями в периастре и апоастре найдём из II закона Кеплера (или из закона сохранения момента импульса) каждой из звёзд. Достаточно рассмотреть одну из них, например, первую. Для неё будем иметь:

где $R_1$ и $r_1$ — расстояния от первой звезды до центра масс в периастре и апоастре.

Отсюда: $u_1/v_1 = (1+e)/(1-e)$, где e - искомый эксцентриситет. Значит:

Подставляя значения $T_2$ и $T_1$, получаем ответ:

Примечание: Утверждение о прямолинейности участков орбит даёт ошибку порядка 2%. Это примерно 10 минут от $T_1$ и $T_2$, данных в условии задачи. Поэтому такое приближение вполне оправдано.