Съдържание

ВсОА 2001, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 24. 11.6

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2001

VIII Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса. Условия задач для 8–11 класса. Первый тур · 8 април 2001 г.

Условие

Доброй памяти станции «Мир» посвящается.

Вам дан баллистический бюллетень № 57 о полете комплекса "Мир", опубликованный 16 марта 2001 года (см., например, http://www.pereplet.ru/pops/space.cgi). Считая орбиту комплекса круговой, оцените из приведённых в нём данных плотность атмосферы на высоте 236 км от Земли. Поперечное сечение комплекса принять равным $S = 50\ \text{м}^2$ . Масса Земли равна $M = 5{,}97\cdot 10^{24}$ кг, радиус – $R = 6371$ км.

Центр управления полетом.

Баллистический бюллетень № 57 о полете комплекса "Мир".

Виток текущий – 86219.

Масса комплекса – 137 тонн.

Период обращения – 89,161 мин.

Средняя высота орбиты – 236,0 км.

Суточное падение средней высоты орбиты в текущие сутки – 2,5 км.

Положение Солнца относительно плоскости орбиты – + 48,5 град.

Продолжительность освещенной части орбиты – 57,4 мин.

Параметр солнечной активности F10.7 – 140.

Геомагнитная возмущенность Земли Ap – 7.

Время достижения высоты 220 км. Начало динамических операций – 21.03.2001 (+ 2 сут.).

Время существования с учетом 15 % отклонения прогноза осредненных значений параметров солнечной активности – 28.03.2001 (+ 3 сут. / - 2 сут.).

Дата определения параметров орбиты – 15.03.2001.

Отговори

Решение

(М.Г. Гаврилов.) Будем рассматривать орбиту станции как круговую, при этом радиус её в среднем за сутки составлял $R_0 + h = 6371\ \text{км} + 236\ \text{км} = 6607\ \text{км} \approx 6{,}6\cdot 10^6$ м (где $R_0$ – радиус Земли, а $h$ – высота орбиты), а изменение этого радиуса за сутки – $\Delta h = -2{,}5\ \text{км} \approx -2{,}5\cdot 10^3$ м.

Падение средней высоты орбиты происходит по причине потери станцией энергии из-за трения о верхние слои атмосферы. При этом, чтобы правильно учесть всё происходящее, лучше воспользоваться энергетическим подходом, учитывая полную энергию станции

E = \text{П} + \text{К} = -GMm/(R_0+h) + mV^2/2,

а не только кинетическую или потенциальную. (Здесь $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $V$ – орбитальная скорость движения станции.) Попутно заметим, что скорость станции увеличивается с уменьшением высоты (станция тормозится, а скорость увеличивается!). Из условия движения по круговой орбите

GMm/(R_0+h)^2 = mV^2/(R_0+h),

откуда

GMm/(R_0+h) = mV^2,

\text{П} = -2\text{К},

E = -\text{К} = \text{П}/2.

Примечание. То, что мы написали, справедливо для величины потенциальной энергии гравитационного взаимодействия, отсчитываемой от бесконечности (тела удалены друг от друга на бесконечное расстояние). Вообще говоря, абсолютное значение потенциальной энергии в физике не имеет смысла, важно только изменение потенциальной энергии.

Таким образом,

E = -GMm/2(R_0+h).

Процесс потери энергии станцией и одновременного увеличения скорости с уменьшением радиуса орбиты можно представить себе следующим образом. Будем рассматривать квазистационарный процесс: считать орбиту всё время круговой, а работу сил сопротивления трения

A = F\cdot L

сводить к изменению параметров этой круговой орбиты. Здесь $F$ – сила сопротивления, $L$ – пройденный путь. Сила $F = \Delta P/\Delta t$ находится из следующих соображений: в течение каждого времени $\Delta t$ о станцию ударяется масса $\mu = \rho\cdot S\cdot V\cdot\Delta t$ в среднем неподвижных молекул ( $\rho$ – плотность атмосферы на высоте полёта станции). В результате упругих столкновений их скорость относительно станции меняется от $-V$ до $+V$ , а относительно Земли – от 0 до $2V$ . То есть, за время $\Delta t$ станция передаёт молекулам импульс

\Delta P = \mu\cdot 2V = 2V\cdot\rho\cdot S\cdot V\cdot\Delta t = 2\cdot\rho\cdot S\cdot V^2\cdot\Delta t,

Откуда

F = \Delta P/\Delta t = 2\cdot\rho\cdot S\cdot V^2,

Таким образом, если за время $\tau = 24$ часа станция пролетит расстояние $L = V\cdot\tau$ , работа сил трения (и, соответственно, потеря энергии станцией) составит:

A = F\cdot L = 2\cdot\rho\cdot S\cdot V^3\cdot\tau,

Изменение энергии:

\Delta E = -A = -2\cdot\rho\cdot S\cdot V^3\cdot\tau.

С другой стороны, изменение энергии станции за это время составит

\Delta E = -GMm/2(R_0+h+\Delta h) - \{-GMm/2(R_0+h)\} \approx \Delta h\cdot GMm/2(R_0+h)^2,

где $\Delta h$ – изменение высоты орбиты, величина $\Delta h$ – отрицательна!

-2\cdot\rho\cdot S\cdot V^3\cdot\tau = \Delta h\cdot GMm/2(R_0+h)^2,

\rho = -\Delta h\cdot GMm/\{4(R_0+h)^2\cdot S\cdot V^3\cdot\tau\}

и, учитывая, что $V^2 = GM/(R_0+h)$ , получаем

\rho = m\Delta h/\{4\tau S\cdot(GM)^{1/2}(R_0+h)^{1/2}\}.

Численный ответ:

\rho = 3{,}86\cdot 10^{-10}\ \text{кг/м}^3 \approx 3{,}9\cdot 10^{-10}\ \text{кг/м}^3.

Оригинал в Архива: prob2001teor.pdf · официални решения: sol2001teor.pdf