Съдържание

ВсОА 2001, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 23. 11.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2001

VIII Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса. Условия задач для 8–11 класса. Первый тур · 8 април 2001 г.

Условие

Современные аппараты "планетарий" устроены так, что каждую группу звёзд проецирует на купол некоторая маленькая оптическая система. Оцените, каковы должны быть параметры (сообразите сами, какие именно параметры тут важны) объектива данной оптической системы, чтобы зрители, сидящие в центре зала планетария, воспринимали бы точками "звёзды" на куполе. Рассмотрите случай более-менее обычного планетария с залом (куполом) диаметром 10 м. На слайдах созвездий, проецируемых на купол, изображения звёзд имеют размер $l_0 = 0{,}1$ мм (в качестве этих "слайдов" часто используется фольга с дырочками-звёздами упомянутого размера).

Отговори

Решение

(М.Г. Гаврилов.) Видимый угловой размер «звёзд» должен быть меньше разрешающей способности глаза, то есть линейный размер (диаметр) изображений этих «звёзд» на куполе не превышал бы $L_0 = \alpha\cdot R$ , где $\alpha$ – разрешающая способность человеческого глаза в темноте (около 50" $\approx 2{,}5\cdot 10^{-4}$ рад), $R$ – радиус зала планетария. В нашем случае

L_0 = \alpha\cdot R \approx 2{,}5\cdot 10^{-4}\cdot 5\ \text{м} \approx 1{,}25\ \text{мм}.

Размер изображения одной звезды, получаемого на куполе с помощью оптической системы, определяется двумя параметрами:

а) Первый – чисто геометрический, определяемый оптическим увеличением размера звезды при проецировании её на купол. Если размер звезды на слайде $l_0 = 0{,}1$ мм, то размер изображения вычисляется по формуле увеличения объектива (линзы): $L = \Gamma\cdot l_0 = l_0\cdot R/r$ , где $r$ – расстояние от упомянутой дырочки в фольге до проецирующей линзы, по формуле линзы $1/R + 1/r = 1/F$ . В нашем случае увеличение не должно превышать $\Gamma_0 = L_0/l_0$ , откуда находим, что фокусное расстояние системы должно быть не меньше

F = R/(\Gamma_0+1) = R/(L_0/l_0 + 1) \approx R\cdot l_0/L_0 = R\cdot l_0/(\alpha\cdot R) = l_0/\alpha = 0{,}1\ \text{мм} / 2{,}5\cdot 10^{-4} \approx 40\ \text{см}.

Условие, вообще говоря, вполне выполнимое.

б) Второй параметр – дифракционный, определяемый размером кружка Эйри: угловой размер расхождения пучка от точечного источника (находящегося вблизи фокуса объектива) равен $\lambda/D$ , где $\lambda$ – рабочая длина волны (порядка 500 нм или $5\cdot 10^{-7}$ м), $D$ – диаметр объектива проецирующей оптической системы (то есть, именно тот диаметр, который нам надо найти). Размер изображения точечного источника на куполе радиуса $R$ при этом составит $R\cdot\lambda/D$ . Таким образом, необходимо условие

R\cdot\lambda/D \le \alpha\cdot R,

D \ge \lambda/\alpha \approx 5\cdot 10^{-7}\ \text{м} / 2{,}5\cdot 10^{-4} \approx 2\cdot 10^{-3}\ \text{м} = 2\ \text{мм}.

Условие тоже вполне выполнимое.

Заметим, что эту величину можно было бы указать сразу: именно ей (диаметром зрачка в условиях дневной освещённости) соответствует разрешающая способность человеческого глаза.

Оригинал в Архива: prob2001teor.pdf · официални решения: sol2001teor.pdf