ВсОА 2002, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 20. 11 класс. Путешествия у полюса

• Через 24 часа – около 131 м от полюса; путь – окружность длиной 47,869 км и радиусом 7,621 км, проходящая через полюс.

(Е.С. Божурова в редакции М.Г. Гаврилова, 2002.) Двигаясь со скоростью 2 км/ч, участники экспедиции за 24 часа далеко не уйдут. Даже, если бы они шли по прямой, – и то, удалились бы не более, чем на 48 км. Поэтому мы можем не учитывать кривизну земного шара и считать, что полярники движутся по плоскости. Вектор их скорости всё время направлен к звезде Сириус. Сириус участвует в видимом суточном движении небесной сферы и за 24 часа проходит по небу приблизительно 361°. Дополнительный градус появляется потому, что звезда делает полный оборот не за 24 часа (солнечные сутки), а примерно за $23^{\text{ч}}\,56^{\text{м}}$ (звёздные сутки, точнее – $24^{\text{ч}} \times 365{,}26 / 366{,}26 = 23^{\text{ч}}\,56^{\text{м}}\,04^{\text{с}}$). За остающиеся почти 4 минуты до окончания 24-го часа звезда проходит ещё около $(4^{\text{м}} : 60) \times 15^{\circ} = 1^{\circ}$. Следовательно, вектор скорости полярников равномерно вращается, отслеживая направление на Сириус и делая один полный оборот за одни звёздные сутки. По величине скорость движения полярников остаётся постоянной. Это означает, что они движутся по окружности длиной $23^{\text{ч}}\,56^{\text{м}}\,04^{\text{с}} \times 2$ км/ч = 47,869 км и радиусом $47{,}869 / 2\pi = 7{,}621$ км. Центр этой окружности находится в стороне от полюса. То есть, через звёздные сутки полярники вновь окажутся на полюсе, а за оставшиеся до окончания 24-го часа почти 4 минуты пройдут ещё 131 м.