ВсОА 2003, Заключителен етап, 8–11 клас, теория — Задача 22. 11 класс. Внуки-путешественники

• Первым приехал полярник; этнографа придётся ждать около 0,95 суток (22,8 часа)

(Н.Н.Шахворостова, март 2003, обработка и дополнения – М.Г.Гаврилов).

Почему же опаздывает второй внук? Вероятно потому, что часы у него отстают. Почему же часы, шедшие абсолютно точно в течение многих десятилетий, вдруг стали отставать? Дело в том, что скорость хода маятниковых часов обратно пропорциональна периоду колебаний математического маятника, который является основным элементом таких часов. А период колебаний определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{L/g}$, где L – длина маятника, а g – ускорение свободного падения. Возможно, конечно, что разные температурные условия на полюсе и экваторе привели к изменению длины маятника, но скорее всё дело в разнице ускорений свободного падения.

Ускорение свободного падения на экваторе меньше, чем на полюсе, сразу по двум причинам.

Во-первых, ускорение свободного падения на экваторе будет меньше за счёт центробежного ускорения на величину $\Delta g_1 = v^2/R$, где v - скорость вращения точки экватора, равная $2\pi R/T = 465$ м/с. Это приводит к относительному уменьшению ускорения силы тяжести на экваторе на величину $v^2/Rg = v^2R/GM = 0{,}00345 = 1/290$.

Во-вторых, Земля имеет сжатие, равное $\eta = 0{,}00335 = 1/298$ (см. таблицу Солнечной системы), что также уменьшает ускорение свободного падения на экваторе. Численно оценить это довольно сложно, но можно сделать оценки. Оценка снизу – ноль, сверху эта величина $\Delta g_2$ не превосходит $\left(\dfrac{GM}{R_n^2} - \dfrac{GM}{R_a^2}\right) \approx \dfrac{2GM\eta}{R^2} \approx 0{,}007 g_0$, где M, $R_n$, $R_a$ и R – масса, полярный, экваториальный и средний радиусы Земли. Реально, величина $\Delta g_2$ составляет $0{,}0018g_0$.

В итоге, относительное уменьшение ускорение силы тяжести на экваторе меньше, чем на полюсе, примерно на 0,52 %.

Поскольку, как мы выяснили, скорость хода маятниковых часов пропорциональна $\Delta g$, часы на полюсе быстрее пройдут свой год, в результате покоритель полюса и исследователь Белых Медведей к радости бабушки прибудет раньше намеченного срока. А вот часы этнографа будут отставать, в результате он будет считать, что время Нового Года ещё не наступило.

Количественно разница хода часов на полюсе и экваторе равна $\Delta g/2g_0 = 0{,}26\ \%$. За год это составит примерно 0,95 суток или 22,8 часа. (Если решать задачу, не учитывая сплюснутость Земли, то, соответственно, $\Delta g_1/2g_0 = = 0{,}172\%$, за год это составит примерно 0,63 суток или около 15 часов). Вот сколько бабушке придётся волноваться, что там случилось со вторым внуком в далёкой Африке.

Примечание 1. Предполагается, что полным решением участника Олимпиады является правильное вычисление $\Delta g_1$ и связанных с этим последствий упоминание про $\Delta g_2$ из-за сплюснутости Земли.

Примечание 2. Эта задача является продолжением сюжетной линии задач о животных на астрономических олимпиадах. Ведь полярник попутно изучал вопрос задачи «Звёздный Мир» №340 (Олимпиада ННЦ 1989 года), проверял, сколь раз на самом деле могут любоваться полной луной белые медведи. А этнограф смотрел за правильностью расстановки по экватору жирафов и сусликов (задача Олимпиады ННЦ 2003 года).

Примечание 3. Вообще, хочется, наверно, узнать не только разницу прихода внуков, но и насколько один пришёл раньше Нового Года, и насколько второй опоздал. Точный расчёт говорит, что разница ускорений между экватором и Курском составляет 62 % от общей разницы, а разница между Курском и полюсом – 38 %. Поэтому полярник пришёл домой на 83 часа раньше Нового года, а этнограф опоздал на 14 часов.

Примечание 4. М-да... Ну с полярником понятно, у них там то полярный день, то полярная ночь, за временем особо не нужно следить. Но этнограф... У него же часы больше, чем на час в месяц отставали, то есть, по его часам и восходы, и заходы солнца каждые 26 дней происходили на час раньше! В результате, в начале июня солнце всходило "в полночь", а заходило - "в полдень". А к концу декабря - удивительно, но солнце всходило уже в 16 часов, а заходило в 4 утра! "Вот какие чудеса творятся в Африке, ни за что не поверите", - спешил поведать этнограф бабушке и брату о своих открытиях.