Съдържание

ВсОА 2003, Заключителен етап, 8–11 клас, теория — Задача 24. 11 класс. Похищение Луны

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2003

X Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса. Теоретический тур · 4 април 2003 г.

Условие

В прошлом люди верили, что лунное затмение происходит потому, что огромный небесный змей (дракон) проглатывает Луну. Кстати, поэтому и период между двумя прохождениями Луны через узел своей орбиты называется "драконическим месяцем". В Болгарии во время лунного затмения мужчины выходили в лес и стреляли в Луну, чтобы испугать змея и заставить его вернуть Луну обратно. Что будет, если змею всё это уже надоело и в следующий раз, когда у него по плану лунное затмение, он проглотит Луну и мгновенно улетит вместе с ней навсегда - как изменится орбита Земли вокруг Солнца и период её орбитального движения? Сначала ответьте на вопрос качественно, а потом оцените количественно. Первоначальные орбиты можно считать круговыми.

Примечание. Количественное решение задачи (по крайней мере – авторское) потребует немало алгебраических преобразований. Для упрощения вычислений (дабы не запутаться и не запутать жюри) рекомендуем пользоваться отношениями, обозначив через:

$a$ – отношение расстояния от Земли до Луны к расстоянию от Земли до Солнца;

$p$ – отношение масс Луны и Земли;

$Y$ – отношение периода обращения Луны вокруг Земли к периоду обращения Земли вокруг Солнца.

Также, дабы не запутаться, не рекомендуем сразу производить вычисления. Кроме того, алгебраический ответ оказывается весьма интересно наполненным физическим смыслом.

Отговори

Решение

(Е.С.Божурова, М.Г.Гаврилов, февраль 2003, редакция – март 2003).

Вначале качественно поймём, увеличится или уменьшится большая полуось орбиты Земли и, соответственно, период её обращения вокруг Солнца. См. решение для 10 класса.

Для решения задачи количественно, кажется, что потребуется использовать довольно много величин, которые надо взять из таблицы Солнечной системы, а потом – много вычислять, используя эти данные. Однако, достаточно взять лишь три величины отношений, рекомендованные в условии, а именно, $a$ , $p$ и $Y$ , чтобы получить относительные изменения для большой полуоси орбиты Земли и периода её обращения.

Обозначения:

$R_{\text{зл}}$ - среднее расстояние от Земли до Луны;

$R_o$ = 149 597 870 км – среднее расстояние от центра масс системы Земля-Луна до Солнца;

$a = R_{\text{зл}} / R_o = 0{,}00257$ – отношение этих расстояний;

$p = M_{\text{л}} / M_{\text{з}} = 0{,}0123$ – отношение масс Луны и Земли;

$T_{\text{л}}$ – период обращения Луны вокруг Земли;

$T_o$ = 365,256 сут – период обращения системы Земля-Луна вокруг Солнца (звёздный год)

$Y = T_{\text{л}} / T_o = 0{,}0748$ – отношение этих периодов;

$V_o$ – средняя орбитальная скорость системы Земля-Луна вокруг Солнца;

$V_{\text{л}}$ – орбитальная скорость Луны вокруг Земли;

$G$ – гравитационная постоянная;

$M_o$ – масса Солнца;

$GM_o = V_o^2 R_o$ .

Произведём некоторые вычисления:

Поскольку $V_o = 2\pi R_o / T_o$ и $V_{\text{л}} = 2\pi R_{\text{зл}} / T_{\text{л}}$ , получаем $V_{\text{л}} / V_o = a / Y$ , или

V_{\text{л}} = V_o \cdot a/Y;

$V_{\text{зл}} = V_{\text{л}}\, p = V_o\, (ap/Y)$ – скорость Земли относительно центра масс системы Земля-Луна;

$V_{\text{зс}} = V_o - V_{\text{зл}} = V_o \cdot (1 - ap/Y)$ – скорость Земли относительно Солнца в момент лунного затмения;

$R_{\text{зс}} = R_o - pR_{\text{зл}} = R_o \cdot (1 - ap)$ – расстояние от Земли до Солнца в тот же момент.

В тот момент, когда змей похищает Луну, полная удельная энергия Земли становится равной

E_{\text{з}} = V_{\text{зс}}^2 / 2 - GM_o / R_{\text{зс}}

С другой стороны, для любого тела, обращающегося по эллиптической орбите (независимо от величины эксцентриситета), полная удельная энергия (то есть, энергия на единицу массы) определяется формулой

E = V_r^2/2 - GM_0/r_1 = -GM_o/2r_1;

где $r_1$ - большая полуось орбиты (в данном случае - новой орбиты Земли, после того, как змей исчезает с Луной), $V_r = (GM_o / r_1)^{1/2}$ – круговая скорость для движения по орбитам с большой полуосью $r$ . Приравнивая энергии Ез и Е, получаем:

V_{\text{зс}}^2 / 2 - GM_o / R_{\text{зс}} = -GM_o / 2r_1,\ \text{откуда}

1/r_1 = 2/R_{\text{зс}} - V_{\text{зс}}^2 / GM_o.

r_1 = 1 / (2/R_{\text{зс}} - V_{\text{зс}}^2 / V_o^2 R_o) = R_o / (2R_o / R_{\text{зс}} - V_{\text{зс}}^2 / V_o^2) = R_o / (2/(1 - ap) - (1-ap/Y)^2) =

= R_o / (2\,(1 + ap) / (1 - a^2p^2) - 1 + 2ap/Y - a^2p^2/Y^2)

Учитывая, что соотношения радиусов орбит и масс – параметры $a$ и $p$ , а также параметр $ap/y$ – малы, пренебрегая вторыми порядками этих величин по сравнению с первыми, получаем:

r_1 = R_o / (2\,(1 + ap) - 1 + 2ap/y) = R_o / (1 - 2ap - 2ap/y) = R_o / (1 + 2ap\,(1 + 1/y))

Таким образом, большая полуось новой орбиты Земли будет равна:

r_1 = 0{,}99909\ \text{а.е.} = 149{,}46\ \text{млн.км}.

Новый орбитальный период Земли:

T_1 = 2\pi \cdot (r_1^3/GM_o)^{1/2} = 364{,}76\ \text{суток}.

Таким образом, дракон съест не только Луну, но и полдня в году!

Кстати, возвращаясь к качественному решению. Величина $2ap$ в окончательном ответе связана с уменьшением расстояния до Солнца, а величина $2ap/y$ – с уменьшением скорости относительно Солнца.

Общее примечание

К задачам 3, 4, 6 желательны художественные иллюстрации.

Лирическое отступление

Задача 4 является продолжением сюжетной линии задач о животных на астрономических олимпиадах. Ведь полярник попутно изучал вопрос задачи «Звёздный Мир» № 340 (Олимпиада ННЦ 1989 года), проверял, сколь раз в году на самом деле могут любоваться полной луной белые медведи. А этнограф смотрел за правильностью расстановки по экватору жирафов и сусликов (задача Олимпиады ННЦ 2003 года).

Оригинал в Архива: prob2003teor.pdf · официални решения: sol2003teor.pdf