Съдържание

ВсОА 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 18. 11 класс, 6. Приливная гравитация

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2004

XI Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса. Теоретический тур, условия задач · 8 април 2004 г.

Условие

Космический аппарат исследует чёрную дыру массы $M = 3M_{\text{С}} = 6\cdot 10^{30}$ кг. Аппарат обращается вокруг чёрной дыры по круговой траектории так, что обращён к ней всё время одной стороной и не деформируется. Найти, на каком расстоянии от центра чёрной дыры должен обращаться этот космический корабль, имеющий "длину" $L = 100$ м (см. рисунок), чтобы за счёт приливных сил была бы создана искусственная гравитация с ускорением силы тяжести (в своей системе отсчёта) "как на Земле":

а) у нижней поверхности (в точке A).

б) у верхней поверхности (в точке B).

Примечание: при решении задачи нельзя пользоваться формулами для приливных сил без из вывода.

Отговори

Решение

(М.Г. Гаврилов, 1999)

Первая и главная часть решения задачи фактически представляет собой вывод формулы для приливных сил. Центр аппарата обращается вокруг чёрной дыры по круговой траектории с угловой скоростью ω, определяемой из условия нахождения на орбите:

\omega^{2}R = \frac{GM}{R^{2}},

\omega^{2} = \frac{GM}{R^{3}},

Точки A и B обращаются с этой же угловой скоростью, но силы притяжения со стороны чёрной дыры, действующие на тела в этих точках, иные:

\frac{GM}{(R-L/2)^{2}}\ \text{и}\ \frac{GM}{(R+L/2)^{2}}\ \text{соответственно.}

В результате в точке A тела будут как бы испытывать искусственное тяготение (ускорение силы тяжести), направленное по направлению к чёрной дыре и равное

g_{\text{иск}} = \frac{GM}{(R-L/2)^{2}} - \omega^{2}(R-L/2),

а в точке B – искусственное тяготение, направленное по направлению от чёрной дыры и равное

g_{\text{иск}} = \omega^{2}(R+L/2) - \frac{GM}{(R+L/2)^{2}}.

Подставляя значение $\omega^{2}$ , получаем для первого случая:

g_{\text{иск}} = GM\left(\frac{1}{(R-L/2)^{2}} - \frac{R-L/2}{R^{3}}\right),

g_{\text{иск}} = GM\frac{R^{3}-(R-L/2)^{3}}{R^{3}(R-L/2)^{2}} = GM\frac{\left(R^{3}-R^{3}+3R^{2}L/2+3R(L/2)^{2}-(L/2)^{3}\right)}{R^{3}(R-L/2)^{2}} \approx GM\frac{3R^{2}L}{2R^{5}} \approx \frac{3}{2}GM\frac{L}{R^{3}}.

Аналогично для второго случая получаем эту же величину (только направление её, напомним, от чёрной дыры).

Таким образом, ответ будет одинаковым для пунктов а) и б) задачи. Учитывая, что нам необходимо $g_{\text{иск}} = g_{\text{земн}} = 9{,}81\ \text{м/с}^{2}$ , получаем

R^{3} = \frac{3}{2}GM\frac{L}{g},

R = \sqrt[3]{\frac{3}{2}GM\frac{L}{g}} \approx 1{,}83\cdot 10^{7}\ \text{м} = 18{,}3\text{тыс.км}.

Оригинал в Архива: prob2004teor.pdf · официални решения: sol2004teor.pdf