ВсОА 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. 9 класс, 4. Новоюлианский календарь
XI Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса. Теоретический тур, условия задач · 8 април 2004 г.
Условие
В начале XX века ряд стран, в которых в то время использовался Юлианский календарь (Россия, Греция, Сербия, Болгария), рассматривали проект введения в своих странах более точного календаря, так называемого "Новоюлианского календаря". По сравнению с Григорианским календарём, в Новоюлианском чередование високосных и невисокосных годов проще: високосными являются 31 из 128 лет, то есть каждый четвёртый (4-й, 8-й, 12-й, 16-й…) за исключением каждого 128-го (128-й, 256-й, 384-й, 512-й…).
Вычислите, насколько (то есть, во сколько раз) более или менее точным является Новоюлианский календарь по сравнению с используемым ныне Григорианским. Длина тропического года составляет 365,242190 суток.
Примечание. Под понятием неточности календаря подразумевается постепенное «сползание» дат начала сезонов (например, даты весеннего равноденствия) со временем. Календарь тем точнее, чем дольше период времени, после которого нужно вводить дополнительную коррекцию (дополнительный високосный, или, наоборот, невисокосный год), дабы дни начала сезонов «не съезжали».
Отговори
- Новоюлианский календарь примерно в 400000 / 3200 ≈ 125 раз точнее Григорианского.
Решение
(М.Г. Гаврилов, 2001.)
Разница Новоюлианского и Юлианского календарей возрастает на 1 день каждое 1 марта N×128-го года. Возрастает – означает увеличение опережения даты Новоюлианским календарём по сравнению с Юлианским. Таким образом, начиная с 1 марта 1920 года (и по 28 февраля 2048 года) эта разница составляет 15 дней. Григорианский календарь опережает Юлианский сейчас (в XX и XXI веках) на 13 дней. Значит, Новоюлианский календарь опережает Григорианский на 2 дня, и если сегодня по Григорианскому календарю 10 апреля, то по Новоюлианскому – 12 апреля 2004 года.
Средняя продолжительность года в Григорианском календаре равна 365 + 97/400 = 365,2425 дня. Это на 0,000310 дня больше длины тропического года. Примерно за 3200 лет набежит один лишний день. Значит, примерно раз в 3200 лет нужно отменять один високосный год. Средняя продолжительность года в Новоюлианском календаре равна 365 + 31/128 = 365,2421875 дня. Это на 0,0000025 дня меньше длины тропического года. Примерно за 400000 лет мы не досчитаемся одного дня. То есть, примерно раз в 400000 лет нужно добавлять один високосный год.
Таким образом, Новоюлианский календарь в 400000 / 3200 ≈ 125 раз точнее Григорианского.
Примечание: в действительности, поправку в Новоюлианский календарь придётся вводить существенно раньше, поскольку вращение Земли замедляется.
Оригинал в Архива: prob2004teor.pdf · официални решения: sol2004teor.pdf