Съдържание

ВсОА 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-Т-6. · Множество звездных скоплений

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2007

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 2 април 2007 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования
Астрономическое общество

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Саранск,2007г.

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Саранск,2–7апреля2007года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2007.28стр.

Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Теоретический тур. 10 класс. Задача 6.

Известно, что звездные скопления не вечны и разрушаются. Рассеянные звездные скопления "живут" в среднем 500 млн. лет. Темп их образования (выражаемый, например, в числе скоплений, родившихся за млн. лет) был максимален 10 млрд. лет назад, когда сформировался диск Галактики, и с тех пор по линейному закону уменьшился до нуля. В окрестности Солнца радиусом 2.5 кпк в настоящее время известно около 2000 скоплений. Оцените полное число скоплений, образовавшихся в диске Галактики за 10 млрд. лет, а также максимальный темп их образования. Для простоты считайте, что скопления в диске Галактики диаметром 25 кпк распределены приблизительно однородно.

Решение

Множество звездных скоплений (А.С. Расторгуев).

Площадь окрестностей Солнца в диске Галактики с радиусом 2.5 кпк в 25 раз меньше площади всего диска Галактики с диаметром 25 кпк. Поэтому полное количество рассеянных скоплений, существующих в Галактике в настоящее время, в 25 раз больше их количества в окрестностях Солнца и составляет 50000. Оценим полное число скоплений, образовавшихся в Галактике за 10 миллиардов лет.

Очевидно, все существующие ныне скопления родились на протяжении последних 500 миллионов лет (обозначим эту величину как $\tau$ ). График числа скоплений, родившихся в единичном интервале времени $\Delta t$ (например, за 1 миллион лет), представляет собой прямую линию, спадающую от некоторого значения до нуля за период $T$ , равный 10 миллиардов лет.

Полный исходный линейный график рожденияскоплений/времяt/T/τ, вся затененная область, начало/конец/обе стрелки осей.

Легко увидеть аналогию между этой задачей и вычислением пути при равнозамедленном движении. Этот путь равен площади под линейным графиком для скорости. Видно, что полное число скоплений, родившихся за время $T$ , будет в $(T/\tau)^2$ или в 400 раз (это отношение площадей подобных треугольников) больше числа существующих скоплений, то есть всего за 10 миллиардов лет их образовалось около 20 миллионов. Средняя по времени скорость образования скоплений составляла 2000 скоплений за миллион лет. Как видно из графика, скорость образования скоплений в начальную эпоху вдвое превосходит среднее значение и составляет 4000 скоплений за миллион лет.

Можно вычислить число скоплений и скорость их образования и по-другому, опираясь на свойства арифметической прогрессии. Разобьем весь интервал $\tau$ на подинтервалы длительностью $\Delta t$ . Пусть темп образования скоплений 500 млн. лет назад составлял $n$ скоплений за млн.лет. Последовательные значения темпа составляют убывающую до нуля арифметическую прогрессию. Сложим попарно первый член прогрессии с последним, второй с предпоследним и т.д. Легко сообразить, что все попарные суммы (а их всего $\tau/2\Delta t$ ) одинаковы и равны $n$ . Поэтому полное число скоплений, родившихся за время $\tau$ , будет равно

N=\frac{n\tau}{2\Delta t}.

Отсюда

n=\frac{2N\Delta t}\tau,

что составляет 200 скоплений за миллион лет. Из линейного закона получаем величину темпа образования скоплений в начальную эпоху

n_0=n\frac T\tau=\frac{2NT\Delta t}{\tau^2}

или 4000 скоплений за миллион лет. Делая аналогичное разбиение на интервалы $\Delta t$ , но уже за весь период $T$ , получаем общее число скоплений, образовавшихся в Галактике:

N_0=\frac{n_0T}{2\Delta t}=\frac{NT^2}{\tau^2}=2\cdot10^7.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических. Все 20 полных печатных ключей со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. В задаче «Две кульминации» дополнительный вопрос о других широтах напечатан только для 10 класса; общий ключ прямо отмечает этот вопрос как относящийся к 10 классу. В таблице объектов строка M17 буквально содержит «Скорпион, Змея»; пустые поля созвездий движущихся объектов сохранены. В ключе окуляров буквально напечатаны Γ2=130 и затем «в полтора»/«около 300». Ключ затменной системы сохраняет вывод о нулевой регистрируемой амплитуде минимума при напечатанном в условии пороге 0.005m. В ключе радуги сохранено исходное слово «крем». Выходные сведения говорят 28 страниц; полученный PDF ключа имеет 27 страниц и завершается полным решением цефеиды. Неизвестная 28-я страница не восстановлена предположением. Все требуемые фотографии и графики есть в доступных оригиналах. Численные баллы и схемы оценивания в 36 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2007tepr.pdf · официални решения: psol2007tepr.pdf