Съдържание

ВсОА 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-Т-1. · Точка Лагранжа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2007

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 2 април 2007 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования
Астрономическое общество

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Саранск,2007г.

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Саранск,2–7апреля2007года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2007.28стр.

Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Теоретический тур. 11 класс. Задача 1.

На какое угловое расстояние от центра Луны может удаляться спутник, находящийся в точке Лагранжа системы Земля-Луна (между ними), для земного наблюдателя? Обязательно ли он будет проецироваться на лунный диск? Эксцентриситетом орбиты Луны и атмосферной рефракцией пренебречь.

Решение

Точка Лагранжа (Е.Н. Фадеев).

Масса Луны достаточно мала по сравнению с массой Земли, и мы можем считать Землю неподвижной, а Луну — обращающейся вокруг Земли на расстоянии $L$ с угловой скоростью

\omega=\sqrt{\frac{GM}{L^3}}.

Внутренняя точка Лагранжа системы Земля-Луна примечательна тем, что тело малой массы, помещенное в эту точку, может вращаться вокруг Земли по круговой орбите с той же угловой скоростью, что и Луна, оставаясь на линии, соединяющей Землю и Луну. Обозначим расстояние между точкой Лагранжа и Луной через $l$ и запишем уравнение кругового движения этой точки:

\omega^2(L-l)=\frac{GM}{(L-l)^2}-\frac{Gm}{l^2}.

Здесь $m$ — масса Луны. Так как масса Луны невелика по сравнению с массой Земли, величина $l$ существенно меньше, чем $L$ , и последнее выражение можно записать как

\omega^2(L-l)=\frac{GM}{L^2}+\frac{2GMl}{L^3}-\frac{Gm}{l^2}.

Подставляя в эту формулу выражение для $\omega$ в начале решения и сокращая подобные слагаемые, получаем

\frac{3GMl}{L^3}=\frac{Gm}{l^2},

из чего следует выражение для расстояния $l$ :

l=L\cdot\left(\frac{m}{3M}\right)^{1/3}.

Это расстояние составляет примерно 61.5 тыс. км. Оно будет видно с Земли под максимальным углом $\gamma$ из точки Н, где Луна располагается у горизонта. Угол $\gamma$ мал, и оба треугольника ОНЕ и ОНМ можно считать близкими к прямоугольным. Величина угла $\gamma$ в радианной мере составляет

Полная исходная геометрия параллакса: Земля O/H/R, точка E, Луна M, L/l, лучи и углы α/β/γ.

\gamma=\alpha-\beta=\frac R{L-l}-\frac RL\approx\frac{Rl}{L^2}=\frac RL\left(\frac{m}{3M}\right)^{1/3}.

Значение этого угла равно $9'$ , что меньше видимого радиуса Луны. Таким образом, спутник, находящийся во внутренней точке Лагранжа системы Земля-Луна, будет всегда проецироваться на диск Луны при наблюдении с Земли.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических. Все 20 полных печатных ключей со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. В задаче «Две кульминации» дополнительный вопрос о других широтах напечатан только для 10 класса; общий ключ прямо отмечает этот вопрос как относящийся к 10 классу. В таблице объектов строка M17 буквально содержит «Скорпион, Змея»; пустые поля созвездий движущихся объектов сохранены. В ключе окуляров буквально напечатаны Γ2=130 и затем «в полтора»/«около 300». Ключ затменной системы сохраняет вывод о нулевой регистрируемой амплитуде минимума при напечатанном в условии пороге 0.005m. В ключе радуги сохранено исходное слово «крем». Выходные сведения говорят 28 страниц; полученный PDF ключа имеет 27 страниц и завершается полным решением цефеиды. Неизвестная 28-я страница не восстановлена предположением. Все требуемые фотографии и графики есть в доступных оригиналах. Численные баллы и схемы оценивания в 36 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2007tepr.pdf · официални решения: psol2007tepr.pdf