Съдържание

ВсОА 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-Т-2. · Искусственный спутник Земли

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2008

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 7 април 2008 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Новороссийск,2008г.

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Новороссийск,7-13апреля2008года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2008.32стр.
Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Теоретический тур. 9 класс. Задача 2.

Диаметр поля зрения телескопа составляет $30'$ . В этот телескоп случайно наблюдался искусственный спутник Земли, который прошел через центр поля зрения. Считая орбиту спутника круговой, определите, за какое время он пролетел через поле зрения, если известно, что телескоп был направлен в зенит, а период обращения спутника составляет 1 час 30 минут.

Решение

Искусственный спутник Земли (А.М. Татарников).

Для 10 класса:

Вначале определим диаметр поля зрения телескопа. Для этого изобразим его оптическую схему:

Полная исходная оптическая схемаОбъектив/Окуляр/Фокальнаяплоскость, α/β/F/f/l и все стрелки/лучи.

Изображение объектов строится в фокальной плоскости и рассматривается через окуляр. Обозначим фокусное расстояние окуляра через $f$ , а его собственное поле зрения через $\alpha$ . Тогда линейный размер изображения поля зрения в фокальной плоскости равен

l=2f\cdot\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}.

Поле зрения телескопа равно углу $\beta$ , под которым это изображение видно из объектива телескопа:

\beta=2\operatorname{arctg}\frac{l}{2F}\approx\frac{l}{F}=\frac{2f}{F}\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}.

Здесь угол $\beta$ выражается в радианной мере и учитывается то, что этот угол мал. $F$ — фокусное расстояние объектива. Подставляя численные значения, получаем, что поле зрения телескопа равно примерно $0.008$ радиан или $0.5^\circ$ .

Далее для 9 и 10 классов:

Период обращения спутника вокруг Земли указывает, что спутник движется по низкой околоземной орбите. Его линейная скорость значительно больше скорости наблюдателя, находящегося на вращающейся Земле. Поэтому мы можем считать Землю неподвижной.

Полная исходная геометрия спутника над наблюдателем:все стрелкиv,h,R,Земля,родные конечные дуги и центр.

Обозначим радиус Земли через $R$ , расстояние между наблюдателем и спутником — через $h$ , период обращения спутника — через $T$ . Орбита спутника круговая, и по III закону Кеплера

h=\left(\frac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}-R.

Здесь $M$ — масса Земли. Высота спутника над поверхностью Земли равна 280 км. Скорость спутника составляет

v=\frac{2\pi(R+h)}{T}.

Угловая скорость спутника в точке, где он наблюдается в зените, равна

\omega=\frac{v}{h}=\frac{2\pi(R+h)}{T\cdot h}=\sqrt{\frac{GM}{h^2(R+h)}}.

Переводя в градусную меру, получаем значение угловой скорости: $1.6^\circ$ в секунду. Поле зрения размером $0.5^\circ$ спутник пересечет примерно за 0.3 секунды.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических; каталог предварительно указывал 23. Все 22 полных печатных ключа со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. Различающиеся условия телескопа и покрытия звезд для 9 и 10 классов сохранены отдельно; общие ключи сохраняют исходные обозначения классов. В задании о космическом мусоре условие требует более 10 фотонов на пиксел, а ключ говорит не меньше 10: обе границы сохранены буквально. В ключе восхода Солнца сохранена исходная фраза об угле к эклиптике. Историческая задача о звезде Барнарда, датированные утверждения и исходные обозначения спектральных функций озона сохранены без научного переосмысления. Ключ Венеры прямо относит карту на странице 18 к заданию практического тура и указывает путь с 6 апреля до 5 мая 2084 года. Все десять лунных фотографий с отметками времени, стрелками и авторством, все карты, графики и таблицы сохранены. Выходные сведения говорят 32 страницы; полученный PDF ключа имеет 31 страницу и завершается полным решением озона и благодарностью за экспериментальные данные. Неизвестная 32-я страница не восстановлена предположением. Численные баллы и схемы оценивания в 40 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2008tepr.pdf · официални решения: psol2008tepr.pdf