Съдържание

ВсОА 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-П-3. · Солнечные часы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2008

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 7 април 2008 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Новороссийск,2008г.

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Новороссийск,7-13апреля2008года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2008.32стр.
Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Практический тур. 9 класс. Задача 3.

На фотографии представлены горизонтальные солнечные часы. Роль вертикального предмета, отбрасывающего тень, исполняет сам человек, желающий узнать время. Для этого он должен встать на ось часов в положение, соответствующее дате наблюдения. Определите широту места, где установлены эти солнечные часы.

Полная исходная фотография солнечных часов, все месяцы/даты/часовые метки и размеры0.8м/1.3м.

Решение

Солнечные часы (О.С. Угольников).

Изображенные на рисунке солнечные часы представляют собой наилучшую модель горизонтальных солнечных часов. Такие часы могут работать на разных широтах во все времена года, они учитывают разность скоростей изменения азимута Солнца в различные сезоны. На рисунке изображено суточное движение Солнца вблизи местного полудня в дни летнего и зимнего солнцестояния в северных широтах. В оба дня солнцестояний модуль склонения Солнца и угловая скорость его суточного перемещения по небу одинакова. За равные промежутки времени после местного полудня Солнце сместится в западном направлении на одинаковый угол (это перемещение показано на рисунке стрелками). Однако из-за разности высот Солнца над горизонтом $h$ его азимут будет изменяться по-разному, летом он будет увеличиваться быстрее. Для моментов времени $t$ вскоре после местного полудня $t_0$ астрономический азимут Солнца будет равен

Полнаяроднаяфотографиясолнечныхчасовключа,всемесяцы/даты/метки/размеры0.8м/1.3м/всеисходныеграницы.

A(t)=\frac{\omega(t-t_0)}{\cos h}.

Здесь $\omega$ — угловая скорость перемещения Солнца по небу. Так как скорость изменения азимута 21 июня в северных умеренных широтах достигает максимума, то ось солнечных часов в этот день должна располагаться ближе к циферблату. Именно такую картину мы наблюдаем на фотографии, следовательно, она сделана в северном полушарии. Скорость поворота тени в солнечных часах обратно пропорциональна расстоянию от основания (стоящего человека) до циферблата. Обозначив данные в условии задачи расстояния через $L_1$ (1.3 м) и $L_2$ (0.8 м), а высоты Солнца в момент летнего и зимнего солнцестояния через $h_1$ и $h_2$ , запишем соотношение:

C\equiv\frac{L_1+L_2}{L_2}=\frac{\cos h_2}{\cos h_1}=\frac{\cos(90^\circ-\varphi-\varepsilon)}{\cos(90^\circ-\varphi+\varepsilon)}=\frac{\sin(\varphi+\varepsilon)}{\sin(\varphi-\varepsilon)}.

Полнаяроднаянебеснаягеометриячасов:Зенит/Небесныймеридиан/Горизонт/21июня/21декабря,всестрелки/дуги/полнаялиниягоризонта.

Здесь $\varphi$ — широта места, $\varepsilon$ — угол наклона экватора к эклиптике. Воспользовавшись формулами для синуса суммы и разности углов, получим:

C=\frac{\sin\varphi\cos\varepsilon+\cos\varphi\sin\varepsilon}{\sin\varphi\cos\varepsilon-\cos\varphi\sin\varepsilon}.

Из этого соотношения мы получаем уравнение

\sin\varphi\cos\varepsilon(1-C)+\cos\varphi\sin\varepsilon(1+C)=0

и далее

\operatorname{tg}\varphi=\operatorname{tg}\varepsilon\frac{C+1}{C-1}=\operatorname{tg}\varepsilon\frac{L_1+2L_2}{L_1}.

Подставляя численные данные, получаем, что широта места составляет $+44^\circ$ . Солнечные часы, изображенные на фотографии, установлены на выставочном комплексе "Город Космоса" (Cite de l'espace) в городе Тулуза, Франция.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических; каталог предварительно указывал 23. Все 22 полных печатных ключа со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. Различающиеся условия телескопа и покрытия звезд для 9 и 10 классов сохранены отдельно; общие ключи сохраняют исходные обозначения классов. В задании о космическом мусоре условие требует более 10 фотонов на пиксел, а ключ говорит не меньше 10: обе границы сохранены буквально. В ключе восхода Солнца сохранена исходная фраза об угле к эклиптике. Историческая задача о звезде Барнарда, датированные утверждения и исходные обозначения спектральных функций озона сохранены без научного переосмысления. Ключ Венеры прямо относит карту на странице 18 к заданию практического тура и указывает путь с 6 апреля до 5 мая 2084 года. Все десять лунных фотографий с отметками времени, стрелками и авторством, все карты, графики и таблицы сохранены. Выходные сведения говорят 32 страницы; полученный PDF ключа имеет 31 страницу и завершается полным решением озона и благодарностью за экспериментальные данные. Неизвестная 32-я страница не восстановлена предположением. Численные баллы и схемы оценивания в 40 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2008tepr.pdf · официални решения: psol2008tepr.pdf