Съдържание

ВсОА 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-П-2. · Патруль "космического мусора"

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2008

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 7 април 2008 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Новороссийск,2008г.

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Новороссийск,7-13апреля2008года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2008.32стр.
Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Практический тур. 11 класс. Задача 2.

На искусственном спутнике Земли работает специальный прибор для определения расстояния до частиц "космического мусора". Прибор состоит из двух объективов с фокусным расстоянием 10 см и диаметром 2 см, разнесенных на расстояние 1 м (называемое базой) и направленных в одну и ту же область неба. Оба приемника оснащены ПЗС-матрицами, работающими в видимом диапазоне спектра и способными регистрировать изображение при накоплении более 10 фотонов на пиксел. Оцените максимальное расстояние до частиц диаметром 1 см, которое может измерить этот прибор, в зависимости от тангенциальной скорости частиц относительно спутника $v$ . Размер чувствительного элемента матрицы (пикселя) составляет 5 мкм, сферическое альбедо частицы равно 0.1. Считать, что поток фотонов от звезды $0^m$ составляет $10^{10}/(\text{м}^2\!\cdot\!\text{сек})$ .

Решение

Патруль “космического мусора” (А.М. Татарников).

Для начала определим линейный размер дифракционного изображения точечного объекта, которое будет строить каждый из объективов в фокальной плоскости:

b_D=\frac{1.22\cdot\lambda}{D}\cdot F.

Здесь $D$ и $F$ — диаметр и фокусное расстояние объектива, $\lambda$ — длина волны излучения, составляющая для середины видимого диапазона 5500 А. Мы получаем чуть больше 3 микрон, что меньше размера пикселя ПЗС-матрицы $b$ . Следовательно, дифракционная картина не будет накладывать ограничений на разрешающую и проницающую способность прибора.

Вычислим далее, на каком расстоянии частица с диаметром $a$ будет зарегистрирована прибором как точечный объект:

l_a=\frac{F\cdot a}{b}.

Для сантиметровых частиц это расстояние получается равным всего 200 метрам. Более далекие частицы будут регистрироваться как точечные объекты. Чтобы измерить расстояние до частицы, необходимо заметить ее параллактическое смещение на фоне далеких светил при наблюдении с двух камер. Разрешающая способность одной камеры с ПЗС-матрицей равна

\alpha=\frac{b}{F}=5\!\cdot\!10^{-5}

или $10''$ . Параллактическое смещение будет заметно, если база $B$ будет видна с частицы под углом, не меньшим $\alpha$ . Рассмотрим наиболее благоприятный случай, когда база перпендикулярна направлению на частицу. Тогда максимальное расстояние, которое можно измерить, составит

l_0=\frac{B}{\alpha}=\frac{B\cdot F}{b},

что равно 20 км. Однако мы получили только одно ограничение на расстояние. Нам необходимо проверить, с какого расстояния сантиметровая частица будет заметна на ПЗС-изображениях. Спутник находится вблизи Земли. Звездная величина Солнца с расстояния Земли равна $-26.8^m$ , и поток фотонов от Солнца равен

J_0=10^{0.4\cdot26.8}\!\cdot\!10^{10}/(\text{м}^2\!\cdot\!\text{сек})=5\!\cdot\!10^{20}/(\text{м}^2\!\cdot\!\text{сек}).

Пусть альбедо частицы равно $A$ , а расстояние до нее — $l$ . Тогда поток отраженных фотонов, попадающий на объективы камер, равен

J=J_0\frac{\pi a^2}{4}A\frac{1}{4\pi l^2}=\frac{J_0Aa^2}{16l^2}.

Определим промежуток времени, в течение которого отраженный свет будет падать на один элемент матрицы. Угловая скорость частицы при наблюдении со спутника равна

\omega=\frac{v}{l},

а промежуток времени:

t=\frac{\alpha}{\omega}=\frac{bl}{Fv}.

Количество фотонов, попадающих в камеру с диаметром объектива $D$ за это время, составит

N=J\frac{\pi D^2}{4}t=\frac{J_0\cdot\pi Aa^2D^2b}{64lFv}.

Чтобы частица была зафиксирована, число $N$ должно быть не меньше 10. Расстояние до частицы должно быть

l\leq\frac{J_0\cdot\pi Aa^2D^2b}{64NFv}=500\ \text{м}\cdot\frac{1\ \text{км/с}}{v}.

Приравняв эту величину к $l_0$ , получаем значение скорости $v_0$ , при которых оба ограничения на расстояние совпадают. Эта скорость равна 25 м/с. Окончательный ответ в задаче следующий: максимальное измеряемое расстояние до частицы "космического мусора" составляет 20 км при ее тангенциальной скорости менее 25 м/с и $500\text{м}\!\cdot\!(1/v(\text{км/с}))$ при тангенциальной скорости более 25 м/с.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических; каталог предварительно указывал 23. Все 22 полных печатных ключа со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. Различающиеся условия телескопа и покрытия звезд для 9 и 10 классов сохранены отдельно; общие ключи сохраняют исходные обозначения классов. В задании о космическом мусоре условие требует более 10 фотонов на пиксел, а ключ говорит не меньше 10: обе границы сохранены буквально. В ключе восхода Солнца сохранена исходная фраза об угле к эклиптике. Историческая задача о звезде Барнарда, датированные утверждения и исходные обозначения спектральных функций озона сохранены без научного переосмысления. Ключ Венеры прямо относит карту на странице 18 к заданию практического тура и указывает путь с 6 апреля до 5 мая 2084 года. Все десять лунных фотографий с отметками времени, стрелками и авторством, все карты, графики и таблицы сохранены. Выходные сведения говорят 32 страницы; полученный PDF ключа имеет 31 страницу и завершается полным решением озона и благодарностью за экспериментальные данные. Неизвестная 32-я страница не восстановлена предположением. Численные баллы и схемы оценивания в 40 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2008tepr.pdf · официални решения: psol2008tepr.pdf