Съдържание

Условие Решение

ВсОА 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 18. 11-Т-6 · Световое давление Солнца

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2009

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры,9–11классы · 12 април 2009 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство образования

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Анапа,2009г.

Международный год астрономии2009 — Вселенная для Вас.

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Анапа,12–18 апреля2009 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С. Расторгуева,О.С. Угольникова,А.М. Татарникова,Е.Н. Фадеева.2009,28стр.

Оригинал-макет и верстка:О.С. Угольников.

Условие

Теоретический тур. 11 класс. Задача 6.

Сравните давление солнечного света и давление солнечного ветра на расстоянии Земли от Солнца. До какой скорости сможет разогнаться сферическая углеродная пылинка плотностью 2 г/см³ и радиусом 0.2 мкм под действием этих эффектов, если изначально пылинка находилась на расстоянии 1 а.е. от Солнца и была неподвижна? Концентрация частиц солнечного ветра вблизи Земли $8.7\cdot10^6$ м⁻³, их скорость — 450 км/с.

Решение

Световое давление Солнца (Е.Н. Фадеев, М.Е. Прохоров).

Световое давление Солнца и давление солнечного ветра сходны: и то, и другое давление создается потоком частиц. Давление света создается потоком фотонов, в то время как солнечный ветер состоит в основном из протонов и электронов с небольшой примесью альфа-частиц (ядер гелия $^4\mathrm{He}$ ).

Обозначим площадь поперечного сечения пылинки как $S$ . За время $\Delta t$ в пылинку попадет $nSv_w\Delta t$ частиц, где $n$ — концентрация частиц, $v_w$ — их скорость. Импульс каждой частицы равен $mv_w$ . Суммарный импульс всех частиц, попавших в пылинку за указанный интервал времени, составит $mnSv_w^2\Delta t$ . Деля этот импульс на интервал времени, мы получаем силу давления частиц на пылинку, а деля также на площадь — давление потока частиц:

P_w=mnv_w^2.

Подставляя численные данные для солнечного ветра, получаем около $3\cdot10^{-9}$ Па. Газовое давление, обусловленное тепловыми скоростями частиц, значительно меньше, так как тепловые скорости меньше направленной скорости солнечного ветра.

Давление излучения проще посчитать исходя из тех соображений, что количество солнечной энергии, приходящейся на единицу поверхности, равно солнечной постоянной $A$ , 1367 Вт/м². Солнечная постоянная — это полное количество солнечной лучистой энергии, проходящей через единицу площади за единицу времени на расстоянии Земли от Солнца. Известно, что энергия фотонов равна

\varepsilon=h\nu=mc^2,

а их импульс:

p=mc=\frac\varepsilon c.

Отсюда видно, что давление излучения равно

P=\frac Ac=4.6\cdot10^{-6}\ \text{Па}.

В итоге, давление солнечного излучения в 1500 раз больше давления солнечного ветра.

Для ответа на второй вопрос задачи запишем выражения для двух сил, действующих на пылинку с указанными характеристиками: притяжения Солнца и давления солнечного излучения (давлением солнечного ветра, как было показано выше, можно пренебречь):

F_1=\frac{GM\mu}{R^2}=\frac43\frac{GM\rho\pi r^3}{R^2};\qquad F_2=-\frac{J\cdot\pi r^2}{4\pi\cdot cR^2}=-\frac{AR_0^2\pi r^2}{cR^2}.

Здесь $M$ и $\mu$ — массы Солнца и пылинки, $\rho$ и $r$ — плотность и радиус пылинки, $R_0$ и $R$ — расстояние от Солнца до Земли и пылинки соответственно, $J$ — светимость Солнца. Во втором выражении стоит знак минус, что указывает, что данная сила действует противоположно первой. Равнодействующая двух сил составит

F=F_1+F_2=\frac{\pi r^2}{R^2}\left(\frac{4GM\rho r}3-\frac{AR_0^2}c\right) =\frac{4G\pi\rho r^3}{3R^2}\left(M-\frac{3AR_0^2}{4Gc\rho r}\right) =\frac{4G\pi\rho r^3}{3R^2}M^*.

Действие силы давления света приводит к тому, что пылинка движется в поле тяжести с уменьшенной эффективной массой Солнца $M^*$ . Если же эффективная масса, стоящая в скобках в последней формуле, окажется меньше нуля, пылинка будет не притягиваться, а отталкиваться от Солнца. Чтобы вычислить, так ли это, подставим численные значения в выражение, стоящее в скобках. В результате мы получаем, что эффективная масса составляет $-0.44M$ , и пылинка действительно будет отталкиваться от Солнца.

Так как результирующая сила пропорциональна $R^{-2}$ , то аналогичный вид сохранит и выражение для потенциальной энергии взаимодействия пылинки с Солнцем:

E=-\frac{GM^*\mu}R=+0.44\frac{GM\mu}R.

По закону сохранения энергии, пылинка, неподвижная на расстоянии $R_0$ от Солнца, вылетит из Солнечной системы со скоростью

v=\sqrt{\frac{-2GM^*}{R_0}}=\sqrt{\frac{2\cdot0.44\cdot GM}{R_0}}=v_0\sqrt{0.44},

где $v_0$ — средняя орбитальная скорость Земли. В итоге, мы получаем значение скорости, до которой действие Солнца разгонит пылинку: 19.8 км/с.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все26отдельно напечатанных заданий9,10и11классов:18теоретических и8практических. «Вояджер2» — одна общая печатная задача1практического тура10–11классов; отдельно напечатанные задания9и10классов сохранены отдельно. Все18полных печатных ключей со всеми методами и авторами приложены к соответствующим26заданиям. В ключе светового давления буквально сохранена цепочка равенств v=√(−2GM*/R0)=√(2·0.44·GM/R0)=v0√0.44 при определении v0как средней орбитальной скорости Земли и ответ19.8км/с; равенства не согласуются с этим определением. В ключеМ4буквально напечатаны E(B−V)=0.34m и A_V=3E(B−V)=0.9m. Приближенные рассуждения ближайшей планеты40%/41%сохранены как в оригинале. Выходные сведения говорят28страниц; полученныйPDFключа имеет26страниц, последняя завершает решение сверхновой. Две неполученные страницы не восстановлены предположением. Все требуемые фотографии и графики есть в доступных оригиналах. Численные баллы и схемы оценивания в35доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2009tepr.pdf · официални решения: psol2009tepr.pdf