Съдържание

Условие Решение

ВсОА 2009, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. 9-Т-4 · Космический футбол

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2009

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры,9–11классы · 12 април 2009 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство образования

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Анапа,2009г.

Международный год астрономии2009 — Вселенная для Вас.

XVI Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Анапа,12–18 апреля2009 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С. Расторгуева,О.С. Угольникова,А.М. Татарникова,Е.Н. Фадеева.2009,28стр.

Оригинал-макет и верстка:О.С. Угольников.

Условие

Теоретический тур. 9 класс. Задача 4.

Половина сферической поверхности астероида с радиусом 1 км и плотностью 3 г/см³ оборудована под большое футбольное поле. Ворота шириной 7 м и высотой 3 м установлены на полюсах астероида. Мяч находится на линии одних ворот точно в ее середине. В каком интервале должны находиться направление и величина скорости, которые нужно задать мячу, чтобы после горизонтального удара он попал в противоположные ворота, не касаясь в полете поверхности астероида? Вращением астероида пренебречь.

Решение

Космический футбол (О.С. Угольников).

Определим вначале, в каком интервале должна заключаться скорость мяча после горизонтального удара, чтобы он попал в противоположные ворота. Так как мяч не должен касаться поверхности астероида, то он должен пролететь над астероидом по крайней мере половину оборота. А для этого его скорость должна быть не менее первой космической:

v_1=\sqrt{\frac{GM}R}=R\sqrt{\frac{4\pi G\rho}3}=0.9157\ \text{м/с}.

Здесь $M$ , $R$ и $\rho$ — масса, радиус и плотность астероида. В этом случае мяч пролетит по траектории 1 на рисунке и попадет в нижнюю часть противоположных ворот. Максимальная скорость соответствует траектории 2, попадающей в верхнюю часть ворот. При этом орбита мяча будет эллиптической с расстоянием в перицентре $R$ и расстоянием в апоцентре $(R+h)$ , где $h$ — высота ворот. Заметим, что значение $h$ значительно меньше $R$ . С учетом этого эксцентриситет орбиты и скорость в перицентре составят

e=\frac{(R+h)-R}{(R+h)+R}\approx\frac h{2R},

v_2=\sqrt{\frac{GM}a\cdot\frac{1+e}{1-e}} =\sqrt{\frac{GM}R(1+e)} \approx\sqrt{\frac{GM}R}\left(1+\frac e2\right) =v_1\left(1+\frac h{4R}\right)=0.9163\ \text{м/с}.

Полная исходная схема астероида/обоих ворот/траекторий1–3, стрелки и весь контур/серая полусфера.

Мы видим, что для попадания в ворота космическим футболистам будет необходимо достичь высокой точности выполнения удара. А вот высокая точность по направлению, по крайней мере, в горизонтальной плоскости, не потребуется. Как видно на рисунке, орбита мяча, близкая к круговой, будет обязательно проходить через противоположный полюс астероида, где находятся ворота, даже если мяч будет лететь по траектории 3. Область возможных направлений удара из центра своих ворот охватывает угол в $180^\circ$ , то есть все футбольное поле.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все26отдельно напечатанных заданий9,10и11классов:18теоретических и8практических. «Вояджер2» — одна общая печатная задача1практического тура10–11классов; отдельно напечатанные задания9и10классов сохранены отдельно. Все18полных печатных ключей со всеми методами и авторами приложены к соответствующим26заданиям. В ключе светового давления буквально сохранена цепочка равенств v=√(−2GM*/R0)=√(2·0.44·GM/R0)=v0√0.44 при определении v0как средней орбитальной скорости Земли и ответ19.8км/с; равенства не согласуются с этим определением. В ключеМ4буквально напечатаны E(B−V)=0.34m и A_V=3E(B−V)=0.9m. Приближенные рассуждения ближайшей планеты40%/41%сохранены как в оригинале. Выходные сведения говорят28страниц; полученныйPDFключа имеет26страниц, последняя завершает решение сверхновой. Две неполученные страницы не восстановлены предположением. Все требуемые фотографии и графики есть в доступных оригиналах. Численные баллы и схемы оценивания в35доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2009tepr.pdf · официални решения: psol2009tepr.pdf