Съдържание

ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, теория — Задача 11-2. 11 класс — 2. Древнеримская ночь

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Комплект сохраняет 18 целых теоретических задач заключительного этапа: по шесть для 9, 10 и 11 классов. Совпадающие задания разных напечатанных школьных когорт и общий авторский ключ сохранены с точным соответствием исходных номеров. Практический тур и региональный этап отнесены к отдельным исходным разделам. Полностью прочитаны все 59 физических страниц трех оригиналов; теоретический раздел использует условия1–3 и ключ1–20 исходной сквозной пагинации. Декоративные эмблемы и фотография обсерватории на обложке не являются научными рисунками.

В полученных оригиналах не напечатаны длительность тура, баллы отдельных задач и общая сумма; эти сведения не добавлены.

Полная текущая архивная папка содержит только три полученных PDF. Отдельные листы ответов, таблица констант и схема оценивания теоретического финала не перечислены и не выдуманы.

В условии и ключе задачи «Аполлон-11» третий член экипажа действительно назван Джоном Коллинзом; исходное имя сохранено.

Ключ «Пульсирующая переменная звезда», физическая страница14: в повторном разложении отношения скоростей множитель TR напечатан вне квадратного корня. Формула воспроизведена буквально; последующее напечатанное условие TR=const тоже сохранено.

Общий заголовок оригинальных условий

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Анапа, 2010 г.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР. Отдельные страницы условий для 9, 10 и 11 классов содержат по шесть самостоятельно пронумерованных задач.

Полная общая обложка и выходные данные оригинального ключа

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская Олимпиада школьников по астрономии
Условия и решения задач
Анапа, 2010 г.

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Анапа, 5–11 апреля 2010 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. 2010. 38 стр.

Задания разработаны Центральной предметной методической комиссией по астрономии Всероссийской олимпиады школьников.

Редакторы сборника: А.С. Расторгуев, О.С. Угольников, А.М. Татарников, Е.Н. Фадеев.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

В древнеримском войске ночь всегда делилась на 4 одинаковые стражи. Определить, во сколько раз отличалась продолжительность стражи в день зимнего солнцестояния от дня летнего солнцестояния? Рефракцией и размерами Солнца пренебречь. Широта Рима равна $42^\circ$ , наклон экватора к эклиптике во времена Древнего Рима составлял $23^\circ45'$ .

Решение

Древнеримская ночь (Е.Н. Фадеев)

Продолжительность стражи зависит исключительно от продолжительности ночи. Летом ночь короткая, значит и длительность стражи невелика. Наоборот, зимой ночи длинные, посему и время стражи увеличивается. Таким образом, для решения задачи необходимо выяснить, какова продолжительность ночи в дни летнего и зимнего солнцестояния на указанной широте.

Рассмотрим, например, движение Солнца в день зимнего солнцестояния. В этот день Солнце движется среди звезд параллельно небесному экватору, и его склонение можно считать постоянной величиной. Суточное движение Солнца происходит по малому кругу, параллельному небесному экватору и отстоящему от него к югу на угол $\varepsilon$ $(23^\circ45')$ . Нарисуем этот малый круг, обозначив его радиус как $r$ . Пусть в точке Q Солнце проходит точку верхней кульминации. Проведем хорду, соединяющую точки восхода и захода Солнца. Обозначим расстояние от точки Q до этой хорды как $d$ . Фактически это часть радиуса суточной параллели Солнца $r$ , выступающей над математическим горизонтом. Длина дневного пути Солнца $l$ будет равна

l=2\alpha\cdot r=2r\arccos\left(1-\frac dr\right).

Оригинальный рисунок: Древнеримская ночь. Сохранены все напечатанные обозначения, направления и границы. — Оригинальная схема и соседний вывод формул; тот же вывод воспроизведен в тексте решения.

Обратимся теперь к проекции небесной сферы на небесный меридиан. Из треугольника OMQ можно выразить величину $d$ :

\frac{R}{\sin(\frac\pi2+\varphi)}=\frac{d}{\sin(\frac\pi2-(\varphi+\varepsilon))},

\frac{R}{\cos\varphi}=\frac{d}{\cos(\varphi+\varepsilon)}.

Здесь $R$ — радиус небесной сферы, $\varphi$ — широта места. Принимая во внимание, что

r=R\cos\varepsilon,

получаем

\frac dr=1-\operatorname{tg}\varphi\operatorname{tg}\varepsilon.

Подставляя полученное уравнение в выражение для $l$ , получаем

l=2r\arccos(\operatorname{tg}\varphi\operatorname{tg}\varepsilon).

Продолжительность ночи в долях суток получается равной

1-\frac{l}{2\pi r}=1-\frac{\arccos(\operatorname{tg}\varphi\operatorname{tg}\varepsilon)}{\pi}\approx0.63

или $15^\text{ч}07^\text{м}$ .

Продолжительность ночи в день летнего солнцестояния будет равна продолжительности дня в день зимнего солнцестояния и составит всего $8^\text{ч}53^\text{м}$ . То есть, летом ночь короче в 1.7 раза, чем зимой. Во столько же раз короче будет продолжительность стражи. В абсолютных единицах продолжительность стражи составит зимой $3^\text{ч}47^\text{м}$ , а летом $2^\text{ч}13^\text{м}$ .

Оригинал в Архива: prob2010tepr.pdf · официални решения: psol2010tepr.pdf