Съдържание

ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, теория — Задача 11-6. 11 класс — 6. Вега и Арктур — будущее

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Комплект сохраняет 18 целых теоретических задач заключительного этапа: по шесть для 9, 10 и 11 классов. Совпадающие задания разных напечатанных школьных когорт и общий авторский ключ сохранены с точным соответствием исходных номеров. Практический тур и региональный этап отнесены к отдельным исходным разделам. Полностью прочитаны все 59 физических страниц трех оригиналов; теоретический раздел использует условия1–3 и ключ1–20 исходной сквозной пагинации. Декоративные эмблемы и фотография обсерватории на обложке не являются научными рисунками.

В полученных оригиналах не напечатаны длительность тура, баллы отдельных задач и общая сумма; эти сведения не добавлены.

Полная текущая архивная папка содержит только три полученных PDF. Отдельные листы ответов, таблица констант и схема оценивания теоретического финала не перечислены и не выдуманы.

В условии и ключе задачи «Аполлон-11» третий член экипажа действительно назван Джоном Коллинзом; исходное имя сохранено.

Ключ «Пульсирующая переменная звезда», физическая страница14: в повторном разложении отношения скоростей множитель TR напечатан вне квадратного корня. Формула воспроизведена буквально; последующее напечатанное условие TR=const тоже сохранено.

Общий заголовок оригинальных условий

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Анапа, 2010 г.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР. Отдельные страницы условий для 9, 10 и 11 классов содержат по шесть самостоятельно пронумерованных задач.

Полная общая обложка и выходные данные оригинального ключа

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская Олимпиада школьников по астрономии
Условия и решения задач
Анапа, 2010 г.

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Анапа, 5–11 апреля 2010 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. 2010. 38 стр.

Задания разработаны Центральной предметной методической комиссией по астрономии Всероссийской олимпиады школьников.

Редакторы сборника: А.С. Расторгуев, О.С. Угольников, А.М. Татарников, Е.Н. Фадеев.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Звезда Вега имеет видимую звездную величину $0.03^{\mathrm m}$ , годичный параллакс $0.13''$ , лучевую скорость $-14$ км/с и собственное движение $0.35''$ /год. Звезда Арктур имеет звездную величину $-0.05^{\mathrm m}$ , годичный параллакс $0.089''$ , лучевую скорость $-5.3$ км/с и собственное движение $2.3''$ /год. Станет ли когда-нибудь Вега ярче Арктура на небе? Если станет, то когда? Светимость звезд считать постоянной во времени, межзвездным поглощением пренебречь.

Решение

Вега и Арктур – будущее (Е.Н. Фадеев)

Пусть $m$ — звездная величина Веги и Арктура, когда они сравняются, а $m_{0\text{В}}$ и $m_{0\text{А}}$ — их звездные величины в настоящий момент времени $(t=0)$ . Обозначим через $r_0$ и $r$ величины расстояния до звезд в начальный и искомый момент времени соответственно. Аналогичные обозначения вводим для величин параллакса $\pi$ . Тогда для каждой из звезд

m-m_0=-2.5\lg\frac{r_0^2}{r^2}=5\lg(\pi_0r).

Пусть в некоторый момент звездные величины Веги и Арктура сравниваются:

m_{0B}+5\lg(r_B\pi_{0B})=m_{0A}+5\lg(r_A\pi_{0A}).

Из этого уравнения следует:

m_{0B}-m_{0A}=5\lg\frac{r_A\pi_{0A}}{r_B\pi_{0B}}=5\lg\frac{r_A}{r_B}+5\lg\frac{\pi_{0A}}{\pi_{0B}}.

Введем обозначение:

K\equiv\frac{r_A^2}{r_B^2}.

Для этой величины мы получаем:

K=10^{0.4(m_{0B}-m_{0A})}\frac{\pi_{0B}^2}{\pi_{0A}^2}=2.3.

Фактически мы получили соотношение расстояний двух звезд, при выполнении которого они будут иметь одинаковую звездную величину. Зная, как изменяются расстояния во времени, можно найти те моменты времени, когда это соотношение истинно. Нам известны лучевые скорости звезд $v_R$ . Пользуясь данными о собственном движении, мы можем получить значение тангенциальной скорости. Для этого мы учитываем, что на расстоянии $r_0$ (выраженном в парсеках) угол в $1''$ будет соответствовать $r_0$ астрономических единиц. Тогда

v_T=4.74\mu_0r_0=4.74\frac{\mu_0}{\pi_0}.

Здесь численный коэффициент необходим для перевода значения скорости из а.е./год в км/с. Проведем координатную ось $Oy$ от наблюдателя к звезде, а ось $Ox$ — перпендикулярно, вдоль тангенциального движения звезды. В этой системе легко записать зависимость координат звезды от времени:

x=v_T\cdot t,\quad y=r_0+v_R\cdot t.

Расстояние до звезды в момент времени $t$ составит

r^2=x^2+y^2=r_0^2+v_R^2t^2+v_T^2t^2+2r_0v_Rt=r_0^2+v^2t^2+2r_0v_Rt.

Здесь $v$ — полная пространственная скорость звезды. Подставляя численные данные, получаем, что скорость Веги $v_\text{В}$ составляет 19 км/с, скорость Арктура $v_\text{А}$ — 123 км/с. Звездные величины обеих звезд сравняются, если выполнится условие:

\frac{v_A^2t^2+r_{0A}^2+2r_{0A}v_{RA}t}{v_B^2t^2+r_{0B}^2+2r_{0B}v_{RB}t}=K.

Это равенство можно записать в виде квадратного уравнения относительно величины $t$ :

(v_A^2-Kv_B^2)t^2+2(r_{0A}v_{RA}-Kr_{0B}v_{RB})t+(r_{0A}^2-Kr_{0B}^2)=0.

Решая уравнение, мы получаем два корня:

t_{1,2}=\frac{-(r_{0A}v_{RA}-Kr_{0B}v_{RB})\pm\sqrt{(r_{0A}v_{RA}-Kr_{0B}v_{RB})^2-(v_A^2-Kv_B^2)(r_{0A}^2-Kr_{0B}^2)}}{v_A^2-Kv_B^2}.

Здесь величины расстояний до звезд нужно перевести в километры. Значение времени будет выражено в секундах. Подставив числа и переведя время в годы, получим, что блеск Арктура и Веги сравнивались около 40 тысяч лет назад и снова сравняются через 15 тысяч лет. В задаче спрашивается о равенстве блеска в будущем, поэтому окончательным ответом будет 15 тысяч лет.

Оригинал в Архива: prob2010tepr.pdf · официални решения: psol2010tepr.pdf