ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, теория — Задача 9-2. 9 класс — 2. Две звезды — Россия

Две звезды – Россия (Е.Н. Фадеев, О.С. Угольников)

Обозначим широту буквой $\varphi$, высоту — $h$, зенитное расстояние $z=90^\circ-h$, склонение $\delta$, северное полярное расстояние $p=90^\circ-\delta$. Обратим внимание, что полярное расстояние любой точки небесной сферы (в том числе звезды А) — величина положительная, следовательно, склонение звезды В положительно. Верхняя кульминация звезды В в северном полушарии происходит над горизонтом, как и нижняя кульминация звезды А. Таким образом, звезда А также располагается севернее небесного экватора.

Очевидно, что ответ на задачу не зависит от значений прямых восхождений звезд А и В. Поэтому мы можем считать их любыми. В частности, мы можем предположить, что они отличаются на 12 часов. Тогда верхняя кульминация звезды В происходит одновременно с нижней кульминацией звезды А. Нарисуем небесную сферу в проекции на плоскость небесного меридиана в этот момент. Укажем на рисунке зенит, Северный полюс мира и проекцию небесного экватора.

Прямые восхождения звезд отличаются на 12 часов, и они располагаются по разные стороны от Северного полюса мира. Укажем углы, соответствующие склонению звезды В $(\delta_\text{В})$ и северному полярному расстоянию звезды А $(p_\text{А})$. Они отсчитываются в одну сторону от взаимно-перпендикулярных направлений на небесный экватор и Северный полюс мира соответственно. При этом по условию задачи они равны друг другу. Следовательно, направления от наблюдателя на звезды А и В также образуют прямой угол. Из равенства их высоты над горизонтом вытекает значение самой высоты: $45^\circ$.

Теперь мы знаем, что высота звезды В в верхней кульминации составляет $45^\circ$, причем кульминирует эта звезда южнее зенита. Тогда справедливо соотношение:

Здесь $\varphi$ — широта места наблюдения. Пренебрегая рефракцией, запишем условие видимости звезды В в момент ее нижней кульминации:

С учетом предыдущей формулы:

Полученное неравенство справедливо только за Северным полярным кругом и не может относиться к средней полосе России. Поэтому звезда В во время своей нижней кульминации будет располагаться под горизонтом и не сможет наблюдаться.