Съдържание

ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, теория — Задача 9-1. 9 класс — 1. Две Олимпиады

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Комплект сохраняет 18 целых теоретических задач заключительного этапа: по шесть для 9, 10 и 11 классов. Совпадающие задания разных напечатанных школьных когорт и общий авторский ключ сохранены с точным соответствием исходных номеров. Практический тур и региональный этап отнесены к отдельным исходным разделам. Полностью прочитаны все 59 физических страниц трех оригиналов; теоретический раздел использует условия1–3 и ключ1–20 исходной сквозной пагинации. Декоративные эмблемы и фотография обсерватории на обложке не являются научными рисунками.

В полученных оригиналах не напечатаны длительность тура, баллы отдельных задач и общая сумма; эти сведения не добавлены.

Полная текущая архивная папка содержит только три полученных PDF. Отдельные листы ответов, таблица констант и схема оценивания теоретического финала не перечислены и не выдуманы.

В условии и ключе задачи «Аполлон-11» третий член экипажа действительно назван Джоном Коллинзом; исходное имя сохранено.

Ключ «Пульсирующая переменная звезда», физическая страница14: в повторном разложении отношения скоростей множитель TR напечатан вне квадратного корня. Формула воспроизведена буквально; последующее напечатанное условие TR=const тоже сохранено.

Общий заголовок оригинальных условий

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Анапа, 2010 г.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР. Отдельные страницы условий для 9, 10 и 11 классов содержат по шесть самостоятельно пронумерованных задач.

Полная общая обложка и выходные данные оригинального ключа

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская Олимпиада школьников по астрономии
Условия и решения задач
Анапа, 2010 г.

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Анапа, 5–11 апреля 2010 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. 2010. 38 стр.

Задания разработаны Центральной предметной методической комиссией по астрономии Всероссийской олимпиады школьников.

Редакторы сборника: А.С. Расторгуев, О.С. Угольников, А.М. Татарников, Е.Н. Фадеев.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

В середине двух олимпиад, проходящих в Краснодарском крае — XVII Всероссийской олимпиады по астрономии (Анапа, 8 апреля 2010 г.) и XXII Зимних Олимпийских игр (Сочи, 15 февраля 2014 г.) некий транснептуновый объект с круговой орбитой наблюдается в одной и той же точке неба (относительно звезд). Найдите минимально возможное значение радиуса орбиты этого объекта. Орбиту Земли считать также круговой, астрономической аберрацией пренебречь.

Решение

Две Олимпиады (О.С. Угольников)

Изобразим на рисунке орбиту Земли и ее положения в две указанные даты.

Оригинальный рисунок: Две Олимпиады. Сохранены все напечатанные обозначения, направления и границы.

За период между этими датами Земля совершила три полных оборота вокруг Солнца и сделала большую часть четвертого оборота, до его завершения ей осталось пройти дугу с углом $\gamma$ . Считая орбиту Земли круговой и ее движение по ней равномерным, находим этот угол:

\gamma=360^\circ\frac{52}{365.25}=51^\circ.

Здесь было принято, что продолжительность года составляет ровно 365.25 суток, и положения Земли 8 апреля 2010 и 2014 годов совпадают. Тогда четвертый оборот Земля завершит 8 апреля 2014 года, то есть через 52 дня после середины XXII зимних Олимпийских игр. Расстояние между двумя положениями Земли составляет

l=2r\sin\frac{\gamma}{2}=0.86\ \text{а.е.}

По условию задания, в обе даты транснептуновый объект оказывается в одной и той же точке неба. Это означает, что направления от Земли к этому объекту в эти даты параллельны друг другу. Объект движется по круговой орбите с радиусом, большим радиуса Нептуна (чей период обращения составляет 165 лет), и за 4 неполных года сделал лишь малую часть своего оборота вокруг Солнца. Его перемещение за это время с хорошей точностью можно считать отрезком прямой линии.

Так как требуется найти минимально возможное значение радиуса орбиты объекта, нужно рассмотреть случай, при котором скорость и перемещение будут максимальными. Из рисунка видно, что в плоскости эклиптики этот случай достигается в положениях 1 и 2, когда перемещение объекта происходит параллельно линии перемещения Земли между указанными датами. В других положениях (в частности, в положении 3) перемещение и скорость объекта будут меньшими.

Объект может и не находиться в плоскости эклиптики, но и в этом случае максимально возможное перемещение объекта составит 0.86 а.е. Время между двумя датами, выраженное в годах, составляет

t=4-\frac{52}{365.25}=3.86.

Скорость объекта получается равной (0.86/3.86) или 0.223 а.е. в год, что чуть более 1 км/с. По III закону Кеплера получаем соотношение между орбитальной скоростью $v$ и радиусом круговой орбиты $a$ :

\frac{a^3}{T^2}=a\left(\frac{a}{T}\right)^2=\frac{av^2}{4\pi^2}=const;\quad av^2=const.

Земля движется по орбите с радиусом 1 а.е. со скоростью $(2\pi)$ а.е. в год. Следовательно, радиус орбиты транснептунового объекта, выраженный в астрономических единицах, составляет

R=\left(\frac{2\pi}{0.223}\right)^2=790.

Объект располагается значительно дальше пояса Койпера и, по-видимому, относится к внутренним областям облака Оорта.

Оригинал в Архива: prob2010tepr.pdf · официални решения: psol2010tepr.pdf