Съдържание

ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, теория — Задача 9-4. 9 класс — 4. Меркурий

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Комплект сохраняет 18 целых теоретических задач заключительного этапа: по шесть для 9, 10 и 11 классов. Совпадающие задания разных напечатанных школьных когорт и общий авторский ключ сохранены с точным соответствием исходных номеров. Практический тур и региональный этап отнесены к отдельным исходным разделам. Полностью прочитаны все 59 физических страниц трех оригиналов; теоретический раздел использует условия1–3 и ключ1–20 исходной сквозной пагинации. Декоративные эмблемы и фотография обсерватории на обложке не являются научными рисунками.

В полученных оригиналах не напечатаны длительность тура, баллы отдельных задач и общая сумма; эти сведения не добавлены.

Полная текущая архивная папка содержит только три полученных PDF. Отдельные листы ответов, таблица констант и схема оценивания теоретического финала не перечислены и не выдуманы.

В условии и ключе задачи «Аполлон-11» третий член экипажа действительно назван Джоном Коллинзом; исходное имя сохранено.

Ключ «Пульсирующая переменная звезда», физическая страница14: в повторном разложении отношения скоростей множитель TR напечатан вне квадратного корня. Формула воспроизведена буквально; последующее напечатанное условие TR=const тоже сохранено.

Общий заголовок оригинальных условий

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Анапа, 2010 г.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР. Отдельные страницы условий для 9, 10 и 11 классов содержат по шесть самостоятельно пронумерованных задач.

Полная общая обложка и выходные данные оригинального ключа

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская Олимпиада школьников по астрономии
Условия и решения задач
Анапа, 2010 г.

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Анапа, 5–11 апреля 2010 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. 2010. 38 стр.

Задания разработаны Центральной предметной методической комиссией по астрономии Всероссийской олимпиады школьников.

Редакторы сборника: А.С. Расторгуев, О.С. Угольников, А.М. Татарников, Е.Н. Фадеев.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

На северном полюсе Меркурия установили горизонтальные солнечные часы. В каких пределах будет меняться угловая скорость (в градусах за земные сутки) тени от вертикального столба этих часов? Могут ли такие часы дать достоверную информацию о времени? Меркурий движется вокруг Солнца по эллиптической орбите с эксцентриситетом $0.205$ и орбитальным периодом 88 дней. Оборот вокруг оси Меркурий совершает за $2/3$ орбитального периода в том же направлении. Плоскость экватора Меркурия совпадает с плоскостью его орбиты, рельеф планеты не учитывать.

Решение

Меркурий (М.Е. Прохоров)

Так как плоскости орбиты Меркурия и его экватора совпадают, при наблюдении с полюса планеты с условием его ровной поверхности Солнце будет располагаться на горизонте, и половина его большого диска будет освещать солнечные часы. Обозначим орбитальный период Меркурия через $T$ . Средняя угловая скорость орбитального вращения планеты составит

\omega_0=\frac{v_0}{R}=\frac{360^\circ}{T}=4.09^\circ/\text{сут}.

Здесь $R$ — среднее расстояние Меркурия от Солнца, а $v_0$ — круговая скорость на этом расстоянии. За счет эксцентриситета орбиты Меркурия мгновенная угловая скорость будет существенно изменяться. Значение орбитальной угловой скорости Меркурия достигает максимума в перигелии, когда планета располагается на расстоянии $L_P$ . В это время она будет двигаться перпендикулярно радиус-вектору со скоростью $v_P$ , и угловая скорость составит

\omega_P=\frac{v_P}{L_P}=\frac{v_0}{R(1-e)}\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}=\omega_0\sqrt{\frac{1+e}{(1-e)^3}}.

Когда Меркурий окажется в афелии, угловая скорость достигнет минимума и будет равна

\omega_A=\frac{v_A}{L_A}=\frac{v_0}{R(1+e)}\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}=\omega_0\sqrt{\frac{1-e}{(1+e)^3}}.

Орбитальное движение Меркурия приводит к видимому движению Солнца относительно звезд с запада на восток (как и на Земле), которое будет частично компенсировать его суточное движение вместе с небесной сферой. Последнее происходит с постоянной угловой скоростью

\omega=\frac32\omega_0.

В результате, угловая скорость движения Солнца (и тени от столба) в перигелии и афелии составит

\Omega_P=\omega-\omega_P=\omega_0\left(\frac32-\sqrt{\frac{1+e}{(1-e)^3}}\right)=-0.05\omega_0=-0.2^\circ/\text{сут}.

\Omega_A=\omega-\omega_A=\omega_0\left(\frac32-\sqrt{\frac{1-e}{(1+e)^3}}\right)=+0.83\omega_0=+3.4^\circ/\text{сут}.

Знак "−" в первой формуле указывает, что вблизи перигелия Солнце "разворачивается" в своем видимом движении по небу и начинает смещаться в обратную сторону. Затем происходит обратный "разворот", и Солнце вновь движется слева направо, достигая максимума угловой скорости в афелии Меркурия. Очевидно, что некоторые положения тени столба будут соответствовать сразу нескольким моментам в течение меркурианских суток, и часы не смогут дать однозначной информации о времени.

Оригинал в Архива: prob2010tepr.pdf · официални решения: psol2010tepr.pdf