ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, теория — Задача 10-2. 10 класс — 2. Две звезды — северное полушарие

Две звезды – северное полушарие (Е.Н. Фадеев)

Обозначим широту буквой $\varphi$, высоту — $h$, зенитное расстояние $z=90^\circ-h$, склонение $\delta$, северное полярное расстояние $p=90^\circ-\delta$. Обратим внимание, что полярное расстояние любой точки небесной сферы (в том числе звезды А) — величина положительная, следовательно, склонение звезды В положительно. Верхняя кульминация звезды В в северном полушарии происходит над горизонтом, как и нижняя кульминация звезды А. Таким образом, звезда А также располагается севернее небесного экватора. В северном полушарии Земли для нижней кульминации звезды в северном небесном полушарии справедливо уравнение

Из условия неизвестно, к северу или к югу от зенита происходила кульминация звезды В. Для кульминации к северу от зенита справедливо уравнение

Система уравнений

решений не имеет. Значит, кульминация звезды В могла произойти только к югу от зенита. В этом случае имеем систему уравнений

Отсюда

и

Известно, что во время верхней кульминации звезды А ее зенитное расстояние составляет четверть ее склонения. Однако, неизвестно, к северу или к югу от зенита происходит эта верхняя кульминация. Рассмотрим оба варианта. Если кульминация произошла к северу от зенита, тогда

Складывая последнее уравнение с полученным ранее, получаем $7\varphi/3=135^\circ$, и широта составляет около $+58^\circ$. Соответственно, склонение звезды В равно $+13^\circ$. Рассмотрим теперь случай, когда звезда А кульминирует к югу от зенита. Тогда

Проводя аналогичную операцию, получаем $9\varphi/5=135^\circ$. Это приводит к значению широты $+75^\circ$. Соответственно, $\delta_\text{В}=30^\circ$.

В итоге, задание имеет два ответа: широта составляет либо около $+58^\circ$, либо $+75^\circ$.