Съдържание

ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, практически тур — Задача 10-2. 10 класс — 2. Цефеида со спутником

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2010

Заключительный этап — практический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Сохранены девять целых практических задач заключительного этапа: по три для 9, 10 и 11 классов. Шесть полных авторских ключей сопоставлены с точными исходными школьными когортами. У телескопа Ньютона, цефеиды и метеорного ливня напечатаны общие решения для двух классов; различие атмосферного поглощения в двух условиях метеорного ливня сохранено. Фотографии в условиях и их негативы в ключе, а также исходные копии графиков сохранены отдельно. Теоретический финал и региональный этап выделены в свои исходные разделы. Полностью прочитаны все59физических страниц трех оригиналов; этот раздел использует условия4–10 и ключ1–2,21–38 исходной сквозной пагинации. Декоративные эмблемы и фотография обсерватории на обложке не являются научными рисунками.

В полученных оригиналах не напечатаны длительность практического тура, баллы отдельных задач и общая сумма; эти сведения не добавлены.

Полная текущая архивная папка содержит только три полученных PDF. Отдельные листы ответов, таблица констант и схема оценивания практического финала не перечислены и не выдуманы.

Авторский ключ телескопа Ньютона печатает угол ACB через arcsin(AB/BC); эта исходная формула сохранена.

K28 печатает α₂,₁=π₂±π₁, тогда как следующие значения и радиусы обозначены в порядке1,2; оба печатных порядка сохранены.

K35 числитель второй нормировки печатает nF,2F без индекса1, тогда как знаменатель печатает n1F,2F; обе печатные формы сохранены без исправления.

K38 в квадрате отношения расстояний печатает R₀/R₁, тогда как окружающий текст используетR; печатныйR₁ сохранен.

Общий заголовок оригинальных условий

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Анапа, 2010 г.

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР. Отдельные страницы условий для 9, 10 и 11 классов содержат по три самостоятельно пронумерованные задачи.

Полная общая обложка и выходные данные оригинального ключа

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XVII Всероссийская Олимпиада школьников по астрономии
Условия и решения задач
Анапа, 2010 г.

XVII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Анапа, 5–11 апреля 2010 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. 2010. 38 стр.

Задания разработаны Центральной предметной методической комиссией по астрономии Всероссийской олимпиады школьников.

Редакторы сборника: А.С. Расторгуев, О.С. Угольников, А.М. Татарников, Е.Н. Фадеев.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Переменная звезда — цефеида располагается на небе точно на линии эклиптики. В течение года она перемещается относительно более далеких звезд, вычерчивая отрезок длиной $0.0020''$ точно вдоль эклиптики. Во время своего противостояния с Солнцем звезда оказывается в середине этого отрезка. Известно, что эта цефеида входит в состав двойной системы с круговыми орбитами и периодом 1 год. Оцените массу второго компонента двойной звезды, если известно, что она заметно меньше массы цефеиды, равной 5 массам Солнца. На рисунках представлена кривая блеска цефеиды и зависимость "логарифм периода — средняя за период абсолютная звездная величина". Собственное движение системы как единого целого и межзвездное поглощение не учитывать.

Полный оригинальный рисунок к задаче «Цефеида со спутником», 10 класс; сохранены все исходные оси, подписи, размеры и границы.

Решение

Цефеида со спутником (А.А. Татарникова)

Полная исходная кривая блеска цефеиды из ключа: mᵥ, Tсут, все исходные деления и оба максимума.

Полная исходная зависимость среднего абсолютного блеска цефеиды отlgP: все оси, шкалы, сетка и прямая.

Отрезок, который описывает звезда вдоль линии эклиптики, имеет все признаки параллактического движения. Этому соответствует и то, что в момент противостояния звезда оказывается в середине отрезка. В этом случае тригонометрический параллакс $\pi_1$ составляет $0.0010''$ . Однако, мы можем определить расстояние до цефеиды другим способом: методом "фотометрического параллакса".

По кривой блеска оцениваем средний блеск цефеиды $m$ ( $5.7^{\mathrm m}$ ) и период колебаний блеска $P$ (5 суток). Как известно, период колебаний связан с абсолютной звездной величиной $m_0$ соотношением, график которого приведен в условии задачи. По нему находим: $m_0=-3.4$ . Имея абсолютную и видимую величины, можно определить фотометрический параллакс:

\lg\pi_2''=0.2(m_0-m)-1.

Значение $\pi_2$ оказывается равным $0.0015''$ , что в полтора раза превышает измеренный тригонометрический параллакс. При этом межзвездное поглощение отсутствует. Мы можем сделать вывод, что фотометрический параллакс характеризует истинное расстояние до цефеиды (670 пк), а годовое параллактическое движение звезды искажено влиянием ее спутника, обращающегося с тем же периодом в 1 год. Нам нужно найти величину этого искажения.

Влияние спутника не выводит звезду с линии эклиптики, следовательно, круговое орбитальное вращение также происходит в плоскости эклиптики. Более того, в момент противостояния звезды, когда ее параллактическое смещение обращается в ноль, орбитальное смещение также отсутствует. Из этого можно сделать вывод, что орбитальное движение в плоскости эклиптики происходит либо в том же направлении, что параллактическое, либо в точности противоположно ему (иными словами, разность фаз равна либо нулю, либо $180^\circ$ ). Обозначим через $\alpha$ половину отрезка, описываемого звездой в ходе ее орбитального движения. Тогда для первого и второго случая:

\pi_2-\alpha_1=\pi_1,

\pi_2-\alpha_2=-\pi_1,

из чего следует:

\alpha_{2,1}=\pi_2\pm\pi_1.

Значения угла $\alpha$ для первого и второго случая составляют $0.0005''$ и $0.0025''$ соответственно. Зная расстояние до цефеиды, можно найти радиус орбиты главной звезды:

a_{C1,2}(\text{а.е.})=\frac{\alpha_{1,2}''}{\pi_2''}=0.3;\ 1.7.

Полная исходная схема двух сценариев сложения движенийπ₂, α иπ₁, обе строки и все стрелки/знаки.

Радиусы орбит двух звезд ( $a_C$ и $a_X$ ) связаны соотношением

\frac{a_C}{a_X}=\frac{M_X}{M_C},

где $M_C$ и $M_X$ — массы этих звезд. Расстояние между звездами составляет

a=a_X+a_C=a_C\left(1+\frac{M_C}{M_X}\right).

Выражая массы в массах Солнца, большую полуось в а.е., период обращения в годах (он равен единице), можно записать III закон Кеплера:

a^3=M_X+M_C;

a_C=\frac{(M_X+M_C)^{1/3}}{1+\dfrac{M_C}{M_X}}.

По условию задачи, масса спутника заметно меньше массы цефеиды. В этом случае уравнение упрощается:

a_C=\frac{M_X(M_C)^{1/3}}{M_C};\quad M_X=a_CM_C^{2/3}.

Подставляя два возможных значения $a_C$ , получаем значения $M_X$ : 1 и 5 масс Солнца. Во втором случае масса получается сравнимой с массой цефеиды, что противоречит условию задачи и сделанным предположениям. Поэтому мы можем сделать вывод, что из двух сценариев, изображенных на рисунке, возможен только первый, а масса спутника цефеиды равна одной массе Солнца.

Оригинал в Архива: prob2010tepr.pdf · официални решения: psol2010tepr.pdf