ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, практически тур — Задача 10-3. 10 класс — 3. Метеорный ливень

Метеорный ливень (О.С. Угольников)

Радиант метеорного потока располагается на небесном экваторе, и его зенитное расстояние в момент верхней кульминации $z_R$ равно широте места наблюдения, $45^\circ$. Наблюдения продолжались всего 10 минут до кульминации и 10 минут после нее. Этот период меньше продолжительности вспышки. За это же время радиант удалился от небесного меридиана всего на $2.5^\circ$. Это вдвое меньше полуширины полосы, в которой фиксировались метеоры. Поэтому мы можем рассматривать картину в плоскости небесного меридиана и считать, что радиант все время находится в этой плоскости на зенитном расстоянии $z_R$. Построим рисунок в плоскости небесного меридиана, поместив наблюдателя в точку O.

Рассмотрим одну из 10-градусных зон, в которых ведется подсчет метеоров. Пусть $z$ — зенитное расстояние середины этой зоны (оно может быть равно $5^\circ$, $15^\circ$ и т.д. до $65^\circ$), а $\Delta z$ — ее полуширина, составляющая $5^\circ$. Проведем окружность, проходящую на высоте $h$ над поверхностью Земли. Метеоры, попадающие в указанную зону, загораются на дуге A₁A₂ этой окружности. Длина этой дуги существенно меньше радиуса окружности $(R+h)$, и мы можем считать эту дугу отрезком прямой.

Пусть точка A на дуге соответствует середине данной зоны (с хорошей точностью она совпадает с серединой отрезка A₁A₂). Обозначим расстояние от наблюдателя до точки A через $l$. В треугольнике COA на рисунке угол COA — смежный по отношению к зенитному расстоянию $z$. Поэтому мы можем записать выражение теоремы косинусов как

Примем далее во внимание, что высота вспышки метеоров $h$ (100 км) значительно меньше радиуса Земли $R$ (6370 км). Это позволяет нам пренебречь слагаемыми порядка $h^2$ и переписать левую часть уравнения:

Отсюда мы получаем квадратное уравнение для величины $l$:

В этом уравнении положительным оказывается один корень:

Обратим внимание, что во всем рассматриваемом участке небесного меридиана величина $z$ не превосходит $70^\circ$. В этом случае

Поэтому мы можем считать, что

и далее:

Это выражение соответствует простой модели плоской Земли. Фактически мы обосновали ее применимость для данной ситуации — существенные отклонения появятся лишь вблизи горизонта, при $z$ больше $70^\circ$, однако эти участки неба не охватывались наблюдениями. В дальнейшем мы будем вести решение для этой модели (соответствующие величины будут иметь индекс "$F$"), а также получим характерные оценки для более сложной модели, учитывающей сферичность Земли в первом приближении (с точностью до слагаемых порядка $h/R$). Сходство результатов станет дополнительным критерием возможности использования модели плоской Земли. Эта модель отражена на рисунке сверху.

Применяя теорему синусов к треугольнику COA на первом рисунке, запишем:

Учитывая, что $h$ существенно меньше $R$, это уравнение можно переписать как

Пользуясь известным соотношением для малого угла $\lambda$:

получаем выражение для радианной меры угла $\alpha$:

В модели "плоской Земли" это соотношение будет выглядеть значительно проще: $\alpha_F=z$. Для определенности примем далее, что величина $z$ положительна в южной части небесного меридиана и отрицательна — в северной, правой части рисунка. Все полученные ранее формулы при этом остаются справедливыми, а угол $\alpha$ для точек в северной части меридиана также будет отрицательным. Угловое расстояние между точкой меридиана с зенитным расстоянием $z$ и радиантом составит

Данная величина положительна к югу от радианта и отрицательна к северу от него. Найдем угол $\beta$, под которым метеорные тела влетают в атмосферу Земли. Из рисунков видно, что:

Для модели "плоской Земли" последнее соотношение будет простым и очевидным: $\beta_F=z_R$. Теперь найдем длину отрезка A₁A₂:

Здесь мы вновь использовали приближенную тригонометрическую формулу, учитывая малость величины $\Delta z$.

Количество метеоров, загоревшихся в той или иной 10-градусной зоне, пропорциональны величине площадки, перпендикулярной движению метеоров, в которую они должны попасть, чтобы быть зарегистрированными в этой зоне. Форма этой площадки близка к прямоугольнику, одна из сторон которого составляет:

Из двух компонент, стоящих в скобках, вторая значительно меньше первой, в чем можно убедиться подстановкой максимального значения $z$, при котором проводились наблюдения. Вновь применяя формулу приближенной тригонометрии, получаем:

Для модели "плоской Земли", очевидно:

Вторая сторона прямоугольника горизонтальна и перпендикулярна плоскости рисунка. Ее длина составляет

где $\theta$ — постоянная ширина полосы наблюдений. В формуле также учтено, что данная ширина невелика. В итоге, искомая площадь составляет

Для модели "плоской Земли":

Обращаем внимание, что полученная зависимость достаточно проста (числитель является постоянной величиной) и характеризуется резким увеличением площади при удалении от зенита. Разумеется, количество метеоров не будет так сильно зависеть от зенитного расстояния, так как наблюдатель видит только самые яркие метеоры, с блеском свыше $4^{\mathrm m}$. По условию задачи, с увеличением звездной величины на $1^{\mathrm m}$ (то есть, при уменьшении минимальной яркости в 2.512 раза) количество метеоров ярче указанного уровня возрастает в 2.512 раза. Иными словами, число метеоров ярче величины $J$ пропорционально $1/J$.

Предположим, в атмосферу влетело метеорное тело. Яркость этого метеора при наблюдении в зените составила $J_0$. Определим, какую яркость это тело бы имело при наблюдении на зенитном расстоянии $z$. Если пренебречь поглощением света в атмосфере (как это было предложено в задании для 10 класса), то яркость уменьшится только за счет большего расстояния до метеора. В таком случае

Если же учесть атмосферное поглощение (как было нужно в задании для 11 класса), то яркость составит

Здесь $m_e$ — значение атмосферного поглощения в зените. Получается, что метеоры вдали от зенита оказываются слабее, чем такие же метеоры в зените. Пусть $j$ — минимальная яркость метеора, заметная невооруженным глазом в зените. Чтобы быть замеченным на зенитном расстоянии $z$, метеор должен иметь там такую же яркость $j$, а в зените он тогда был бы ярче в $J_0/J_{1(2)}$ раз. Но, как указывалось выше, таких метеоров меньше, соответствующий коэффициент есть обратная величина к отношению яркостей. Доля видимых глазом метеоров из всех, попавших в данную 10-градусную зону, будет пропорциональна величине

В итоге, количество метеоров будет пропорционально площади $S$ и величине $F_1$ ($F_2$):

В модели "плоской Земли" в формулах отпадают последние множители:

Нам известно, что полное количество метеоров, зарегистрированных вдоль участка меридиана, составляло 500. Чтобы получить количество метеоров, вспыхнувших в каждой 10-градусной зоне, нужно "нормировать" полученные значения $n$:

Результаты представлены в виде графиков. Сплошными линиями показаны зависимости, полученные с использованием модели "плоской Земли". Мы видим, что количество метеоров увеличивается от зенита к горизонту. Этот факт сохраняется и для кривой $N_2$, рассчитанной с учетом атмосферного поглощения, хотя указанная зависимость там менее резкая. В реальности, при больших значениях атмосферного поглощения $m_e$ и

заметной засветке неба у горизонта наклон кривой еще слабее, а на больших зенитных расстояниях число метеоров начинает уменьшаться.

Приближенный учет сферичности Земли приводит к едва заметным отклонениям только при $z$ порядка $60^\circ$–$70^\circ$, как показывают пунктирные линии на графике. Эти отклонения делают кривую несимметричной относительно зенита — в южной части неба, под радиантом, метеоров чуть больше, чем у северного горизонта. Но в рамках указанных зенитных расстояний разница результатов двух моделей, мала, что еще раз подтверждает возможность использовать простую модель "плоской Земли".