ВсОА 2010, Регионален етап, 9–11 клас — Задача 11-3. 11 класс — 3.

Аналогично лунным затмениям на Земле, спутник Сатурна Титан может попадать в тень этой планеты. Однако это происходит не в каждое противостояние Титана Солнцу (при наблюдении с Сатурна), а лишь вблизи одного из узлов орбиты Титана. Так как Титан обращается вокруг Сатурна фактически в плоскости экватора планеты, линия узлов орбиты Титана остается параллельной линии пересечения плоскости орбиты Сатурна и плоскости его экватора. Линия узлов совпадает с направлением на Солнце дважды за орбитальный период Сатурна, то есть один раз в 14.7 лет. Подобная ситуация случилась в настоящее время. В течение нескольких оборотов Титана он будет попадать в тень Сатурна, и нам нужно определить количество этих затмений.

Для начала определим размеры тени Сатурна, в которую может погрузиться Титан, пренебрегая сжатием Сатурна. Эта планета располагается в 9.539 раз дальше от Солнца, чем Земля, и угловой радиус Солнца при наблюдении с Сатурна $\rho$ составляет всего $101''$ или $5\cdot10^{-4}$ радиан. Обозначим радиус орбиты Титана через $l$. Тогда радиус тени Сатурна на расстоянии Титана составит

что практически не отличается от радиуса Сатурна $R$. Построим рисунок в плоскости, перпендикулярной плоскости экватора Сатурна и орбиты Титана и пересекающей плоскость орбиты Сатурна по горизонтальной прямой. Пусть $i$ — наклонение орбиты Титана. Определим величину перемещения Титана от точки узла орбиты A до точки B, удаленной на расстояние $R_s$ от плоскости орбиты Сатурна. В этой точке еще может наступить затмение Титана. Расстояние AB составляет

Данная величина существенно меньше радиуса орбиты Титана, и с учетом оценочного характера задания мы можем считать, что перемещение Титана от точки A до точки B происходит по прямой линии. Угол, который проходит Титан в своем орбитальном движении за это время, составляет

Получается, что затмения Титана может происходить внутри двух дуг орбиты длиной $2\gamma$ или $13^\circ$ каждая, на угловом расстоянии не более $6.5^\circ$ от одного из узлов. Точка противостояния Титана будет попадать в этот интервал, пока сам Сатурн будет находиться не далее $6.5^\circ$ от линии равноденствий (линии в плоскости орбиты Сатурна, параллельной плоскости его экватора). Определим, сколько времени Сатурн потратит на преодоление дуги в $2\gamma$ своей орбиты:

Здесь $T$ — орбитальный период Сатурна. В течение такого периода будут происходить затмения Титана на каждом его обороте вокруг Сатурна. Орбитальный период Титана можно получить из III закона Кеплера, сравнивая его движение с обращением Луны вокруг Земли:

Синодический период Титана практически не отличается от орбитального. Деля $T_e$ на $T_0$, получаем, что на Сатурне в 2009-2010 годах произойдет около 25 затмений Титана подряд.

Примечание. В реальности, число затмений Титана в 2009-2010 годах, с учетом его размеров и полярного сжатия Сатурна, составит 24.