ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. Теоретический тур, 9 класс. 1. Канун эры космонавтики

• Высота Венеры над горизонтом 7.3°; точка на Северном полярном круге (61°45′ в.д.), расстояние до Байконура около 2300 км.

(О.С. Угольников)

В момент нижнего соединения Венеры гелиоцентрические долготы Венеры и Земли совпадают. Изобразим положение Солнца, Венеры и Земли в плоскости, перпендикулярной плоскости орбиты Земли (плоскости эклиптики).

Обозначим радиусы орбит Венеры и Земли через $r$ и $R$ соответственно, а гелиоцентрическую эклиптическую широту Венеры – через $\beta$. Этот угол невелик, поэтому мы можем достаточно просто вычислить угловое расстояние $\gamma$ между Солнцем и Венерой при наблюдении с Земли:

Угол $\gamma$ получается равным 7.3°. При наблюдении из точки поверхности Земли, описанной в условии задачи, Солнце находилось на горизонте, а Венера – в точности над Солнцем. Следовательно, высота Венеры над горизонтом была равна 7.3°. Этого вполне достаточно, чтобы увидеть Венеру невооруженным глазом даже в день ее нижнего соединения. Линия Солнце-Венера на небе перпендикулярна линии эклиптики и горизонту, а Солнце находится на эклиптике и одновременно на горизонте. Из этого можно сделать вывод, что эклиптика в этот момент в данной точке Земли совпадает с горизонтом.

В зените должен находиться один из полюсов эклиптики. Очевидно, что это северный полюс эклиптики, так как Венера располагается к северу от Солнца и видна над ним на небе. Склонение северного полюса эклиптики равно +66.6° и совпадает с широтой места наблюдения $\varphi$. Итак, описанная в условии картина наблюдалась на Северном полярном круге.

Прямое восхождение Северного полюса эклиптики составляет 18 часов, такое же значение принимает звездное время в пункте наблюдения $S$. В день весеннего равноденствия (21 марта) звездное время отличается от местного на 12 часов (небольшой поправкой на уравнение времени мы пренебрегаем). Совпадение эклиптики с горизонтом на Северном полярном круге произошло в этот день 6 часов утра по местному времени и далее повторялось через каждые звездные сутки ($23^{\mathrm{ч}}56^{\mathrm{м}}04^{\mathrm{с}}$).

11 апреля отстоит от 21 марта на 21 день. Умножив продолжительность звездных суток на 21, мы получаем 20 дней 22 часа и 37 минут. Следовательно, для даты 11 апреля момент 18 часов по звездному времени $S$ придется на 4 часа 37 минут утра по местному времени $T$, и в указанной точке Северного полярного круга Солнце будет восходить над горизонтом.

Так как летнее время в 1961 году не вводилось, Московское время отличалось от Всемирного на 3 часа, и Всемирное время $UT$ составляло $0^{\mathrm{ч}}30^{\mathrm{м}}$. Вычитая Всемирное время из местного, мы получаем долготу места наблюдения:

или 61°45′ восточной долготы. Мы видим, что долготы данного пункта и Байконура отличаются всего на 1.5°, а широты – значительно больше. Поэтому мы можем считать, что оба пункта находятся на одном меридиане и определить расстояние между ними по разности широт:

Здесь $R_0$ – радиус Земли, $\varphi_0$ – широта Байконура.