Съдържание

ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. Теоретический тур, 9 класс. 2. Космический локатор

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2011

XVIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Анапа, 2011 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Условие

Лазерный локатор на поверхности Земли посылает короткие импульсы в направлении космического аппарата, расположенного вблизи нашей планеты, ровно через 1 секунду друг после друга. Находящийся рядом с лазером приемник регистрирует отраженные сигналы, разделенные промежутком времени 1.00008 секунды. Является ли аппарат искусственным спутником Земли или это межпланетная станция? Атмосферными эффектами пренебречь.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Интервалы между импульсами лазера и между моментами регистрации отраженного сигнала не равны друг другу. Это может иметь место в том случае, если космический аппарат имеет некоторую скорость относительно локатора. При этом поперечная скорость, не изменяющая расстояние между аппаратом и локатором, на время регистрации сигнала влиять не будет. Нас будет интересовать радиальная (лучевая) скорость аппарата. Обозначим ее как $v$ и будем считать положительной, если аппарат удаляется от локатора, и отрицательной, если он приближается к локатору. Тогда в течение некоторого интервала времени будет справедливо выражение для расстояния между аппаратом и локатором:

S = S_0 + v\cdot t.

Здесь $S_0$ – некоторая постоянная величина. Пусть в момент времени $t_1$ лазер отправил импульс в сторону аппарата. Расстояние, на котором этот импульс будет регистрироваться в момент времени $t$ , составит

S_1 = c\,(t - t_1).

Здесь $c$ – скорость света. Обозначим через $t'$ момент прихода импульса к аппарату. Приравняв величины $S$ и $S_1$ , мы получаем уравнение для этой величины:

t' = \frac{S_0 + ct_1}{c - v}.

Расстояние между локатором и аппаратом в этот момент составит

S' = S_0 + v\cdot t' = \frac{S_0 c + vct_1}{c - v}.

В этот же момент произойдет отражение сигнала, которому будет предстоять обратный путь длиной $S'$ к приемнику. Отраженный сигнал будет принят в момент

\tau_1 = t' + \frac{S'}{c} = \frac{2S_0 + (c + v)t_1}{c - v}.

Пусть следующий сигнал посылается в момент $t_2$ , а его отражение принимается в момент $\tau_2$ . Выпишем формулу для отношения интервалов регистрации и отправления сигналов:

K \equiv \frac{\tau_2 - \tau_1}{t_2 - t_1} = \frac{c + v}{c - v}.

По условию задачи, величина $K$ составляет 1.00008. Из нее мы получаем значение лучевой скорости $v$ :

v = c\,\frac{K - 1}{K + 1} \approx \frac{c}{2}(K - 1).

Лучевая скорость аппарата получается равной 12 км/с. Это больше величины второй космической скорости у поверхности Земли (11.2 км/с). Полная скорость аппарата будет не меньше лучевой, а при удалении от Земли вторая космическая скорость уменьшается. Учет движения локатора за счет осевого вращения Земли со скоростью не более 0.5 км/с не изменяет ситуации. Аппарат движется со скоростью более второй космической и при этом удаляется от Земли (значение скорости $v$ положительно). Следовательно, он не останется в поле действия Земли и отправится в путешествие по межпланетному пространству.

Оригинал в Архива: prob2011tepr.pdf · официални решения: psol2011tepr.pdf