Съдържание

ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. Теоретический тур, 9 класс. 3. Вокруг Марса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2011

XVIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Анапа, 2011 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Условие

Спутник сферической формы движется по круговой орбите вокруг Марса в плоскости его экватора в том же направлении, в котором планета обращается вокруг своей оси. Космонавт, находящийся на поверхности планеты, обнаружил, что спутник в зените на одну звездную величину ярче, чем на горизонте. Условия освещения спутника Солнцем (угол «Солнце-спутник-наблюдатель») были при этом одинаковыми. С какой стороны горизонта – западной или восточной – восходит этот спутник при наблюдении с поверхности Марса? Поглощением света в атмосфере Марса пренебречь.

Отговори

Решение

(Е.Н. Фадеев)

При одинаковых условиях освещения Солнцем (одинаковом фазовом угле) разница в видимом блеске спутника возникает вследствие изменения его расстояния от наблюдателя. Когда аппарат находится над горизонтом, он дальше, чем при наблюдении в зените. По условию задачи, разница блеска равна $1^{m}$ , и отношение освещенностей, создаваемых спутником, $K$ , равно 2.512:

\frac{E_z}{E_h} = \frac{H^2}{h^2} = K = 2.512,

где $h$ – высота орбиты спутника, $H$ – расстояние до спутника, когда он находится на горизонте. Эти величины легко выразить через радиус орбиты спутника $r$ и радиус Марса $R$ :

h = r - R;

H^2 = r^2 - R^2.

Тогда

\frac{(r - R)\,(r + R)}{(r - R)^2} = \frac{r + R}{r - R} = K; \qquad r = R\cdot\frac{K + 1}{K - 1} \approx 7890\ \mathrm{км}.

Спутник обращается вокруг Марса в том же направлении, в котором Марс обращается вокруг своей оси. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно сравнить период обращения спутника с периодом осевого вращения Марса. Орбитальный период спутника определяется из III закона Кеплера:

T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}.

Здесь $M$ – масса Марса. Период получается равным около 6 часов, что значительно меньше марсианских звездных суток (около 25 часов). В итоге, спутник, двигаясь по орбите с запада на восток, будет обгонять осевое вращение планеты и при наблюдении с поверхности восходить в западной части горизонта и заходить с восточной стороны.

К данному выводу можно прийти даже без вычисления орбитального периода. Достаточно вспомнить, что спутник Марса Фобос обращается вокруг планеты по орбите с большим радиусом (9380 км) и восходит над западным горизонтом. Можно также вычислить радиус стационарной орбиты для Марса, который примерно вдвое меньше аналогичной высоты для Земли, но существенно больше радиуса орбиты спутника, рассматриваемого в задаче.

Оригинал в Архива: prob2011tepr.pdf · официални решения: psol2011tepr.pdf