Съдържание

ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. Теоретический тур, 9 класс. 4. Старт в дальний путь

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2011

XVIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Анапа, 2011 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Условие

Дальняя межпланетная станция стартует с Земли 1 января, чтобы потом без последующих коррекций орбиты по энергетически выгодной траектории достигнуть далекой карликовой планеты, обращающейся вокруг Солнца на окраинах Солнечной системы. В какой день начавшегося года эта планета вступит в противостояние с Солнцем? Орбита планеты круговая, она лежит в плоскости эклиптики, планета обращается по ней в том же направлении, что и Земля по своей орбите. Орбиту Земли также считать круговой.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

В случае круговых орбит Земли и планеты энергетически выгодная траектория перелета без коррекций представляет собой половину эллипса, касающегося орбиты Земли в перигелии и орбиты планеты – в афелии. Этот эллипс, как и орбиты обеих планет, также лежит в плоскости эклиптики.

Схема перелета: малая окружность орбиты Земли радиуса r0 вокруг точки «Солнце»; на ней положения Земли 1 («Земля») и 2; горизонтальный отрезок r от Земли через Солнце к дальней точке на большой дуге орбиты планеты; полуэллипс траектории станции со стрелкой от Земли к этой точке; дуга орбиты планеты со стрелкой ведет к точке «Планета»; прямая из положения 2 через Солнце к «Планете», угол γ у Солнца.

Обозначим радиус орбиты планеты через $r$ . Как известно, Солнечная система простирается на сотни астрономических единиц от Солнца, а радиус орбиты карликовой планеты на ее окраинах много больше радиуса орбиты Земли $r_0$ . В соответствии с III законом Кеплера, орбитальный период далекой планеты равен

T = T_0\left(\frac{r}{r_0}\right)^{3/2},

где $T_0$ – орбитальный период Земли. Большая полуось орбиты межпланетной станции составит

a = \frac{r + r_0}{2} \approx \frac{r}{2}.

Время перелета станции от Земли к планете $t$ есть половина орбитального периода этой станции:

t = \frac{1}{2}T_0\cdot\left(\frac{r}{2r_0}\right)^{3/2} = T\cdot\frac{1}{4\sqrt{2}}.

За это время сама планета сместится по своей орбите на угол

\gamma = 360^{\circ}\cdot\frac{t}{T} = 63.6^{\circ}.

Это перемещение будет происходить в ту же сторону, что и движение Земли по орбите (на рисунке – против часовой стрелки). В момент запуска Земля находилась в положении 1 на рисунке, с другой стороны от Солнца относительно точки, где станция прибудет на далекую планету. Ближайшее противостояние планеты наступит, когда Земля окажется в положении 2. Это произойдет менее чем через полгода, и смещением планеты по орбите за это время можно пренебречь, так как оно будет значительно меньше 1° (перемещение Земли за 1 день). Чтобы перейти из положения 1 в положение 2, Земле нужно пройти по орбите дугу в 180°– $\gamma$ , то есть в 116.4°. Время, которое на это потребуется, составляет

\tau = T_0\,\frac{180^{\circ} - \gamma}{360^{\circ}}.

Этот интервал равен 118 дням. Старт межпланетной станции произошел 1 января, а ближайшее противостояние далекой планеты наступит 28 или 29 апреля, в зависимости от того, является ли данный год високосным или нет.

Оригинал в Архива: prob2011tepr.pdf · официални решения: psol2011tepr.pdf