ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5. Теоретический тур, 9 класс. 5. Луноход – спасатель

• От нуля до примерно 340 дней (11.5 синодических месяцев): диаметр кратера 7.5 км, окружность 24 км, 12 лунных дней движения.

(Н.Ю. Подорванюк, О.С. Угольников)

Кратер располагается около центра видимого полушария Луны и обращен «плашмя» по отношению к земным наблюдателям. В этом случае его диаметр составляет

где $d$ – угловой диаметр кратера при наблюдении с Земли (в радианах), а $L$ – расстояние от Земли до Луны. Будем считать, что кратер можно было бы разглядеть невооруженным глазом, если его угловой диаметр был бы не меньше 2′ или 0.0006 радиан (обозначим эту величину как $d_0$). Если увеличение телескопа $M$ не слишком велико, то в него можно рассмотреть кратеры с угловым диаметром $d_0/M$. В итоге, мы получаем выражение для диаметра кратера:

Эта величина составляет 7.5 км. Окружность кратера $S$ равна $\pi D$ или 24 км. В зависимости от взаимного расположения пострадавшего аппарата и лунохода в начале поиска, луноходу придется пройти расстояние от нуля до всей длины окружности $S$. Чтобы обойти ее, «Луноходу-1» потребовалось бы 12 лунных дней. При этом ему пришлось бы находиться в покое как минимум 11 лунных ночей. Весь поиск занял бы 11.5 лунных синодических месяцев (по 29.53 дня), то есть 340 дней – почти целый год. Это максимальная продолжительность поиска, она могла бы быть и меньше (в пределе – равной нулю). Интересно, что примерно столько (на один лунный день меньше) «Луноход-1» в действительности проработал на поверхности Луны.