ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 25. Практический тур, 11 класс. 1. Трассы искусственных спутников

• Спутник 1: наклонение 80°, период 4/5 звездных суток ($19^{\mathrm{ч}}09^{\mathrm{м}}$). Спутник 2: наклонение 60°, период 7/3 звездных суток ($2^{\mathrm{д}}07^{\mathrm{ч}}51^{\mathrm{м}}$).

(Е.Н. Фадеев)

В начале решения рассмотрим вопрос о наклонении орбит спутников. Изобразим Землю и орбиту спутника в проекции, перпендикулярной плоскости орбиты спутника и плоскости экватора.

Если спутник движется по своей орбите с запада на восток, в ту же сторону, что и Земля вокруг своей оси (направление A на рисунке), то величина наклонения орбиты $i_{\mathrm{A}}$ равна углу между плоскостями экватора и орбиты спутника. Тогда, как видно на рисунке, для наклонения справедливо простое соотношение

где $\varphi_{\mathrm{M}}$ – наибольшая широта места, в котором спутник можно наблюдать в зените. Если же спутник движется в противоположную сторону (направление B на рисунке), то наклонение его орбиты считается равным

Поэтому мы можем сразу сказать, что наклонение орбиты первого спутника в условии задачи равно 80° или 100°, а наклонение орбиты второго спутника – 60° или 120°. Чтобы выбрать правильные значения, нам нужно установить направление вращения обоих спутников.

Форма трассы спутника определяется наложением орбитального движения спутника и осевого вращения Земли. Если бы Земля не вращалась вокруг своей оси, то спутник, совершив один оборот, возвращался бы в ту же точку орбиты над той же самой точкой на поверхности Земли. Трасса спутника представляла бы собой замкнутую кривую, похожую на синусоиду, один период которой соответствовал бы всей окружности Земли. В реальности картина существенно сложней. По завершению одного периода спутник возвращается в ту же точку орбиты, но Земля поворачивается вокруг своей оси, и под спутником оказывается уже другая точка поверхности, хотя и с той же широтой. Угол поворота Земли (и разность долгот) зависит от орбитального периода спутника. К примеру, для низкой орбиты с периодом 1.5 часа угол поворота Земли составит около 22.5°. В итоге, синусоидальная трасса спутника сожмется или растянется, в зависимости от соотношения направлений вращения спутника и Земли.

Рассмотрим вначале случай обратного вращения спутника (направление B на рисунке, наклонение орбиты более 90°). В этом случае движение спутника будет происходить с востока на запад, а движение поверхности Земли – с запада на восток. В итоге, трасса спутника во всех точках его орбиты будет сохранять западное направление по долготе. Долгота точки Земли, находящейся под спутником, будет постоянно уменьшаться.

Полученный вывод вступает в противоречие с тем, что мы видим на трассе первого спутника. На ней присутствуют характерные «петли» – долгота точки Земли под спутником то увеличивается, то уменьшается. Следовательно, первый спутник не может иметь обратного направления вращения. Он обращается в ту же сторону, что и Земля вокруг своей оси, а наклонение его орбиты составляет 80°.

Чтобы определить период обращения этого спутника, нужно выяснить, в каком направлении движется точка Земли под спутником вдоль трассы. Как уже было указано, эта точка в разных участках трассы смещается по долготе как к западу, так и к востоку. Рассмотрим движение спутника по орбите в момент пересечения плоскости экватора (точка E на рисунке) и на наибольшем удалении от нее (точка M на рисунке). Обозначим через $\mathbf{E_0}$ и $\mathbf{M_0}$ точки поверхности Земли, находящиеся в этот момент под спутником. За счет осевого вращения Земли эти точки движутся на восток со скоростями $V$ и $V_{\mathrm{M}}$, причем

По условию задачи, орбита спутника круговая. Пусть его скорость равна $v$. Если бы Земля не вращалась вокруг своей оси, точка поверхности Земли под спутником двигалась бы вдоль трассы со скоростью $v \cdot (R/r)$, где $R$ и $r$ – радиусы Земли и орбиты спутника. Учтем осевое вращение Земли и определим компоненту скорости движения точки по трассе в направлении, параллельном экватору (по долготе):

Данные величины имеют знак «+», если движение происходит к востоку, и знак «–», если движение происходит к западу. Угол $i$ положителен и не превосходит 90°. Мы видим, что величина $u_{\mathrm{E}}$ всегда меньше, чем $u_{\mathrm{M}}$. В частности, при определенном соотношении скоростей скорость $u_{\mathrm{E}}$ может быть отрицательной, а скорость $u_{\mathrm{M}}$ – положительной (обратная картина невозможна). Итак, изменение направления скорости указывает, что первый спутник в условии задачи движется на запад при пересечении плоскости экватора и на восток – при максимальном удалении от него. Это позволяет нам указать направление движения точки под спутником по трассе (стрелка на рисунке).

Пусть в начальный момент времени спутник пересек плоскость экватора, находясь при этом над точкой $\mathbf{E_0}$ с координатами 0° ш., 0° д. Сделав один оборот, по одному разу пролетев над северным и южным полушариями Земли, спутник оказался над точкой $\mathbf{E_1}$ с координатами 0° ш., 72° в.д. Как видно из трассы, данная точка удалена от точки $\mathbf{E_0}$ к востоку (по направлению движения спутника и Земли) на 1/5 часть окружности экватора. При этом трасса не замыкала круг долгот, оставаясь вблизи указанного долготного диапазона. Следовательно, за один орбитальный период Земля отстала в своем вращении от спутника на 1/5 оборота, и период обращения спутника составляет 4/5 звездных суток, то есть $19^{\mathrm{ч}}09^{\mathrm{м}}$.

Обратимся к трассе второго спутника. Здесь точка, расположенная под спутником, движется по долготе строго в одном направлении. Однако, при достижении максимальной широты $\varphi_{\mathrm{M}}$ на трассе наблюдается характерный «излом». С учетом круговой орбиты спутника это означает, что скорость $u_{\mathrm{M}}$ (см. формулы выше) в этот момент приближается к нулю. Это, в свою очередь, может иметь место, если скорости $v$ и $V$ направлены в одну сторону, и данный спутник также обладает прямым направлением вращения. Наклонение его орбиты равно 60°.

Исходя из тех же формул, скорость $u_{\mathrm{E}}$ у этого спутника отрицательна, и при пересечении экватора он (как и первый спутник) будет двигаться к западу. При этом возможны две траектории, указанные на рисунке стрелками. В обоих случаях в течение одного орбитального периода точка трассы пройдет целый круг в 360° по долготе и сместится еще на 120° к западу. При этом сам спутник движется по орбите с запада на восток. Следовательно, в ходе своего орбитального периода он отстанет от Земли на 4/3 оборота, и величина самого периода равна 7/3 звездных суток или $2^{\mathrm{д}}07^{\mathrm{ч}}51^{\mathrm{м}}$.