ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 13. Теоретический тур, 11 класс. XI.1. Верхняя кульминация Веги

• (–51°, 60.6°), (72.6°, 90°]

(О.С. Угольников)

Заданное в условии задачи прямое восхождение Веги (18 часов) совпадает с прямым восхождением точки зимнего солнцестояния (точки 1). Следовательно, верхняя кульминация Веги и данной точки происходят одновременно. Рассмотрим положение Веги и эклиптики на небесной сфере в этот момент.

Обозначим цифрой 2 точку летнего солнцестояния с прямым восхождением 6 часов. Эта точка в настоящий момент находится в нижней кульминации. Точки весеннего и осеннего равноденствия, имеющие прямые восхождения 0 и 12 часов, совпадают с точками востока и запада соответственно и находятся на горизонте. Следовательно, одна из двух точек (1 или 2) является наивысшей точкой эклиптики, а другая – ее самой низкой точкой.

Вне зависимости от сезона года Солнце находится на эклиптике. Чтобы хоть раз в году увидеть Вегу в верхней кульминации на темном небе, у эклиптики должна существовать зона, погруженная под горизонт глубже, чем на 6°. Иными словами, одна из точек – 1 или 2 – должна располагаться на зенитном расстоянии, большем 96° (обозначим эту величину $z_{\mathrm{T}}$).

Склонение точки 1 равно $-\varepsilon$, склонение точки 2 составляет $+\varepsilon$, где $\varepsilon$ – величина наклона экватора к эклиптике (около 23.4°). Запишем выражения для зенитных расстояний точки 1 в верхней кульминации и точки 2 в нижней кульминации:

Для выполнения условия задачи должно выполняться любое одно из этих неравенств. Решая их, получаем:

Здесь мы учли, что значение широты по модулю не может превышать 90°. К данному выводу можно было прийти другим, более простым способом. Обозначим на рисунке северный полюс эклиптики как $\mathbf{P_E}$. Его прямое восхождение совпадает с прямым восхождением Веги, а склонение составляет $90^{\circ} - \varepsilon$ или 66.6°. Если в момент верхней кульминации полюс эклиптики будет отстоять от зенита не более, чем на 6° (угол $\gamma$ на рисунке), то все точки самой эклиптики будут располагаться не дальше, чем 6° от горизонта, и Вега не будет видна в верхней кульминации на темном небе. Считая, что зенитное расстояние полюса эклиптики более 6°, получаем те же интервалы значения широты.

Для получения окончательного ответа мы должны учесть, что Вега сама должна быть видна на небе в верхней кульминации, то есть не быть невосходящей звездой. Обозначив склонение Веги как $\delta_{\mathrm{V}}$, запишем условие для ее зенитного расстояния в верхней кульминации:

Отсюда получаем, что широта должна быть севернее –51°. Итак, условие задачи выполняется на интервалах широты (–51°, 60.6°), (72.6°, 90°].