ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. Теоретический тур, 11 класс. XI.3. Минимумы затменной переменной

• От $0^{\mathrm{m}}$ до $0.55^{\mathrm{m}}$.

(О.С. Угольников)

Как известно, затменная переменная звезда – двойная система, в которой звезды в ходе орбитального движения периодически затмевают друг друга. Если звезды сферические и удалены от Солнца на расстояние, значительно превышающее размеры системы, а орбиты звезд круговые, то звезды по очереди будут закрывать одну и ту же угловую площадь поверхности друг друга. Однако в случае эллиптических орбит эта площадь может различаться.

Во время главного минимума общая яркость системы уменьшается в $K$ раз:

Обозначим величины яркости двух звезд как $J_1$ и $J_2$. Пусть во время главного минимума закрылась часть первой звезды. Обозначим эту часть («площадную фазу» затмения) как $F_1$. Тогда

Отсюда запишем выражение для яркости второй звезды

В неравенстве было учтено, что величина $F_1$ не превышает единицу. Данный верхний предел достигается при равных размерах звезд и поверхностных яркостях, относящихся как 3:2. Тогда в случае центрального затмения более яркой звезды падение блеска составит $1^{\mathrm{m}}$. Во время вторичного минимума затмевается уже вторая звезда. Обозначим площадную фазу затмения как $F_2$. Яркость пары будет относиться к аналогичной величине вне затмения как

Максимально возможное падение блеска во время вторичного минимума составит

Итак, глубина вторичного минимума может составлять от $0^{\mathrm{m}}$ (если вторая звезда темная или второе затмение не происходит из-за эллиптичности орбит) до $0.55^{\mathrm{m}}$ (при полных затмениях звезд с одинаковыми размерами и яркостями в отношении 3:2).