Съдържание

ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 16. Теоретический тур, 11 класс. XI.4. Алюминиевый парус

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2012

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2012 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Обложка сборника решений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО АСТРОНОМИИ · XIX · 2012

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2012 г.

Выходные данные сборника решений

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2012 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Идеально отражающий плоский алюминиевый солнечный парус обращается вокруг Солнца по круговой орбите с радиусом 1 а.е. и периодом 1.5 года. Парус всегда расположен перпендикулярно направлению на Солнце. Найдите толщину паруса. Плотность алюминия составляет 2.7 г/см $^3$ . Взаимодействие паруса и планет не учитывать.

Отговори

Решение

(А.Н. Акиньщиков)

Обозначим плотность паруса $\rho$ , его толщину – $d$ , а его площадь – $S$ . На парус будут действовать две силы – притяжение Солнца и световое давление. Они направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Сила притяжения, направленная к Солнцу, составляет

F_{\mathrm{G}} = \frac{GMSd\rho}{R^2}.

Здесь $M$ – масса Солнца, $R$ – расстояние от Солнца до паруса. Сила светового давления в случае идеального отражения равна удвоенному импульсу солнечных фотонов, попадающих в парус в единицу времени. Импульс каждого фотона $p$ равен $E/c$ , где $E$ – его энергия, а $c$ – скорость света. Отсюда получаем величину силы светового давления:

F_{\mathrm{E}} = \frac{LS}{2\pi cR^2}.

Здесь $L$ – светимость Солнца. Под действием этих двух сил парус движется со скоростью $v$ по окружности радиуса $R$ :

Sd\rho\frac{v^2}{R} = \frac{GMSd\rho}{R^2} - \frac{LS}{2\pi cR^2}.

Отсюда получаем выражение для скорости:

v^2 = \frac{GM}{R} - \frac{L}{2\pi cd\rho R} = v_0^2 - \frac{L}{2\pi cd\rho R}.

Здесь $v_0$ – круговая скорость движения под действием только силы тяготения (орбитальная скорость Земли). Толщина паруса равна

d = \frac{L}{2\pi c\rho R(v_0^2 - v^2)} = \frac{Lv_0^2}{2\pi GMc\rho(v_0^2 - v^2)}.

Выражая скорости через орбитальные периоды, получаем:

d = \frac{LT^2T_0^2}{8\pi^3 c\rho R^3(T^2 - T_0^2)} = \frac{LT^2}{2\pi GMc\rho(T^2 - T_0^2)}.

Здесь $T$ – период обращения паруса, $T_0$ – период обращения Земли вокруг Солнца. Толщина паруса составляет 1 микрону.

Содержание сборника решений

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 3

10 класс … 10

11 класс … 17

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 26

10 класс … 31

11 класс … 38

Оригинал в Архива: prob2012tepr.pdf · официални решения: psol2012tepr.pdf