Съдържание

ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 17. Теоретический тур, 11 класс. XI.5. Прохождение Венеры - сквозь века

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2012

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2012 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Обложка сборника решений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО АСТРОНОМИИ · XIX · 2012

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2012 г.

Выходные данные сборника решений

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2012 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

4 июня 1769 года в Санкт-Петербурге на специально построенной обсерватории российская императрица Екатерина II сначала наблюдала прохождение Венеры по диску Солнца, а затем (в тот же день!) частное солнечное затмение. Оцените, через сколько лет на нашей планете вновь можно будет наблюдать прохождение Венеры по диску Солнца и солнечное затмение с интервалом менее одних суток.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Для решения задания нужно определить условие, при котором Венера в нижнем соединении или Луна в новолунии будут проецироваться на диск Солнца при наблюдении хотя бы из одной точки Земли. Задача имеет оценочный характер и связана с анализом больших интервалов времени. Поэтому орбиты Венеры, Земли и Луны могут считаться круговыми.

На рисунке изображен предельный случай, при котором касательное явление (затмение или прохождение Венеры) видно в одной точке Земли. Обозначим расстояние от Земли до Солнца через $L$ , а расстояние от Земли до затмевающего объекта (Венеры либо Луны) через $l$ . С учетом малости угловых размеров Солнца, Луны и Венеры можно записать выражение для максимального удаления Луны или Венеры от линии «Солнце-Земля», при котором происходит явление:

h = R + l\gamma + r = R + r + \frac{R_0 - R}{L}l = R_0\frac{l}{L} + R\frac{L - l}{L} + r.

Здесь $R_0$ , $R$ и $r$ – радиусы Солнца, Земли и Луны (Венеры) соответственно. Угол $\gamma$ показан на рисунке. Движение Луны и Венеры происходит под небольшими углами к плоскости эклиптики, и величина $h$ есть максимальное расстояние центра Луны (Венеры) от плоскости эклиптики в момент новолуния (нижнего соединения), при котором может произойти затмение (прохождение Венеры по диску Солнца). Значение этой величины составляет примерно 9900 км для Луны и 203000 км для Венеры.

Определим, какая доля новолуний (нижних соединений Венеры) удовлетворяет данному условию. Для этого изобразим орбиту Луны (Венеры) и плоскость эклиптики (справа):

Предельный случай касательного явления: слева Солнце (круг радиуса R0, подпись «Солнце»), справа Земля (круг радиуса R, подпись «Земля»), расстояние между центрами L; над линией центров — Луна (Венера) радиуса r (подпись «Луна (Венера)») на высоте h, расстояние от нее до центра Земли l; касательная к Солнцу и Земле образует малый угол γ.

Наклонная орбита (эллипс с подписью «Орбита») пересекает плоскость эклиптики (параллелограмм с подписью «Плоскость эклиптики») в узле (черная точка); показаны радиус орбиты Q, угол наклона i, расстояние x от узла вдоль орбиты и высота h над плоскостью.

Обозначим угол наклона плоскости орбиты к эклиптике через $i$ , радиус орбиты – через $Q$ . Величина $h$ существенно меньше максимального удаления точки орбиты от плоскости эклиптики $Q\,i$ (равного 35000 км для Луны и 6.5 млн км для Венеры). Для того, чтобы точка орбиты находилась не далее расстояния $h$ от плоскости эклиптики, она должна быть удалена от узла орбиты не далее, чем на расстояние:

x = \frac{h}{i}.

Здесь мы учли, что наклонение орбит Луны и Венеры не очень велико. Данная точка орбиты может находиться с двух сторон от каждого из двух узлов этой орбиты. В итоге, доля всей длины орбиты, расположенная не далее расстояния $h$ от плоскости эклиптики, составляет:

P = \frac{2\cdot 2x}{2\pi Q} = \frac{2h}{\pi Qi}.

Учтем, что для Луны (далее – индекс «L») величина $Q$ равна расстоянию от Земли до Луны $l_{\mathrm{L}}$ , а для Венеры (индекс «V») она равна ( $L - l_{\mathrm{V}}$ ). В итоге получаем:

P_{\mathrm{L}} = \frac{2}{\pi i_{\mathrm{L}}}\left(\frac{R_0}{L} + R\frac{L - l_{\mathrm{L}}}{Ll_{\mathrm{L}}} + \frac{r_{\mathrm{L}}}{l_{\mathrm{L}}}\right) = \frac{2}{\pi i_{\mathrm{L}}}\left(\rho_0 + \rho_{\mathrm{L}} + R\frac{L - l_{\mathrm{L}}}{Ll_{\mathrm{L}}}\right) = 0.182 \approx \frac{1}{5.5}.

P_{\mathrm{V}} = \frac{2}{\pi i_{\mathrm{V}}}\left(R_0\frac{l_{\mathrm{V}}}{L(L - l_{\mathrm{V}})} + \frac{R}{L} + \frac{r_{\mathrm{V}}}{L - l_{\mathrm{V}}}\right) = \frac{2}{\pi i_{\mathrm{V}}}\left(R_0\frac{L - Q_{\mathrm{V}}}{LQ_{\mathrm{V}}} + p_0 + p_{\mathrm{V}}\right) = 0.0202 \approx \frac{1}{50}.

Здесь $\rho_0$ и $\rho_{\mathrm{L}}$ – видимые радиусы Солнца и Луны при наблюдении с Земли, а $p_0$ и $p_{\mathrm{V}}$ – экваториальные параллаксы Солнца при наблюдении с Земли и Венеры. Эти параллаксы значительно меньше другого слагаемого во второй формуле и могут не приниматься в расчет. Данные значения показывают, что в среднем только одно из 5.5 новолуний сопровождается солнечным затмением (для упрощения число 5.5 можно заменить на 6 и считать, что затмения происходят раз в полгода), а прохождение Венеры по диску Солнца происходит лишь однажды из 50 ее нижних соединений.

Обозначим синодические периоды Луны и Венеры как $S_{\mathrm{L}}$ и $S_{\mathrm{V}}$ . Средний промежуток времени между солнечными затмениями равен

T_{\mathrm{L}} = \frac{S_{\mathrm{L}}}{P_{\mathrm{L}}} \approx 162\ \text{сут}.

Средний промежуток времени между двумя прохождениями Венеры по диску Солнца составляет

T_{\mathrm{V}} = \frac{S_{\mathrm{V}}}{P_{\mathrm{V}}} \approx 80\ \text{лет}.

Вероятность того, что за время $t$ (одни сутки) до прохождения Венеры или за то же время после него произойдет солнечное затмение, составляет

q_{\mathrm{t}} = \frac{2t}{T_{\mathrm{L}}} = \frac{2tP_{\mathrm{L}}}{S_{\mathrm{L}}} \approx \frac{1}{81}.

Поэтому, в среднем лишь каждое 81-е прохождение Венеры по диску Солнца может сопровождаться солнечным затмением в интервале ±1 суток. Среднее время между такими событиями составляет

T = \frac{T_{\mathrm{V}}}{q_{\mathrm{t}}} = \frac{S_{\mathrm{V}}S_{\mathrm{L}}}{2tP_{\mathrm{V}}P_{\mathrm{L}}} \approx 6400\ \text{лет}.

Мы получили лишь характерное значение между подобными явлениями. В реальности, после 1769 года солнечные затмения и прохождения Венеры по диску Солнца не совпадут ни разу в течение 8000 ближайших лет. Трижды за этот период солнечное затмение и прохождение Венеры будут разделены промежутком в два дня (затмение 20 июня и прохождение Венеры 22 июня 3462 года, затмение 22 июня и прохождение Венеры 24 июня 3956 года, затмение 26 июля и прохождение Венеры 28 июля 7844 года). Еще в одну дату, 8 июля 5657 года, состоится прохождение Венеры по диску Солнца и новолуние, при котором солнечное затмение будет наблюдаться в ближайших окрестностях Земли.

Содержание сборника решений

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 3

10 класс … 10

11 класс … 17

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 26

10 класс … 31

11 класс … 38

Оригинал в Архива: prob2012tepr.pdf · официални решения: psol2012tepr.pdf