Съдържание

ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 18. Теоретический тур, 11 класс. XI.6. Аккреция на нейтронную звезду

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2012

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2012 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Обложка сборника решений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО АСТРОНОМИИ · XIX · 2012

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2012 г.

Выходные данные сборника решений

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2012 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Нейтронная звезда движется со скоростью 100 км/с через облако молекулярного водорода с температурой 10 K и плотностью $10^{3}$ см $^{-3}$ . Оцените скорость, с которой нейтронная звезда будет набирать массу вследствие аккреции. Столкновения между частицами облака не учитывать.

Отговори

Решение

(Е.Н. Фадеев)

Движущаяся через облако звезда будет захватывать вещество, как непосредственно оказавшееся перед ней, так и притянутое со стороны. Зная температуру облака, можно оценить среднюю скорость молекул водорода:

\bar{v} = \sqrt{\frac{5kT}{m}} \approx 450\ \text{м/с}.

Здесь $k$ – постоянная Больцмана, $T$ – температура облака, $m$ – масса молекулы водорода. Средняя скорость молекул оказалась на два с лишним порядка меньше скорости нейтронной звезды. Мы пренебрегаем столкновениями между частицами и будем считать, что изначально они неподвижны относительно звезды.

Будем также считать, что нейтронная звезда аккрецирует на себя все частицы облака, которые окажутся ближе некоторого расстояния $b$ к ее траектории. За время $t$ на звезду упадет масса цилиндра радиусом $b$ и длиной стороны $vt$ . Тогда за это время нейтронная звезда, движущаяся со скоростью $v$ , притянет массу

M_{\mathrm{t}} = mnvt\pi b^2.

Здесь $n$ – концентрация молекул водорода. Скорость поступления массы на нейтронную звезду составляет

\dot{M} = mnv\cdot\pi b^2.

Гиперболическая траектория частицы, налетающей со скоростью v с прицельным параметром b (штриховые линии) на нейтронную звезду (круг с подписью «Нейтронная звезда»); в перицентре на расстоянии rP частица имеет скорость vP; два узких закрашенных треугольника иллюстрируют равенство площадей.

Если предположить, что нейтронная звезда поглотит только те частицы, которые располагаются непосредственно на ее траектории, и расстояние $b$ равно ее собственному радиусу (10 км), то мы получаем весьма небольшое значение темпа аккреции в $10^{-4}$ кг/c.

Рассмотрим более правдоподобный вариант. Совместим начало координат с центром нейтронной звезды. В этой системе координат молекулы водорода будут налетать на нейтронную звезду с одного направления, двигаясь по гиперболическим орбитам. При этом на звезду будут падать только частицы, у которых перицентр орбиты находится ниже поверхности нейтронной звезды.

Нас интересует граничный случай, при котором частица в перицентре коснется поверхности нейтронной звезды. Скорость частицы на удалении от нейтронной звезды (в этой системе координат) равна $v$ , прицельный параметр равен $b$ . Пусть перицентрическое расстояние (или радиус нейронной звезды) равно $r_{\mathrm{P}}$ , а перицентрическая скорость – $v_{\mathrm{P}}$ . Тогда из II закона Кеплера (равенства площадей закрашенных треугольников на рисунке) можно получить простое соотношение:

v\,b = v_{\mathrm{P}}\,r_{\mathrm{P}}.

Из закона сохранения энергии имеем:

\frac{v_{\mathrm{P}}^2}{2} = \frac{v^2}{2} + \frac{GM}{r_{\mathrm{P}}}.

Здесь $M$ – масса нейтронной звезды (будем считать ее равной массе Солнца). Подставляя первую формулу во вторую, получаем:

\frac{v^2 b^2}{2r_{\mathrm{P}}^2} = \frac{v^2}{2} + \frac{GM}{r_{\mathrm{P}}}.

Отсюда получаем выражение для прицельного параметра:

b^2 = r_{\mathrm{P}}^2 + \frac{2GMr_{\mathrm{P}}}{v^2} \approx \frac{2GMr_{\mathrm{P}}}{v^2}.

Темп аккреции составит:

\dot{M} = \frac{2\pi GMmnr_P}{v} = 280\ \text{кг/с}.

Содержание сборника решений

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 3

10 класс … 10

11 класс … 17

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 26

10 класс … 31

11 класс … 38

Оригинал в Архива: prob2012tepr.pdf · официални решения: psol2012tepr.pdf