ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 2. Теоретический тур, 9 класс. IX.2. Быстрый облет

• Вокруг Меркурия (для облета Земли с тем же периодом нужна высота около 40 км, где орбитальные полеты невозможны из-за атмосферы).

(О.С. Угольников)

Из обобщенного III закона Кеплера получаем выражение для орбитального периода:

Здесь $M$ – масса объекта, вокруг которого обращается спутник, $a$ – большая полуось его орбиты. Если сферическое центральное тело (Солнце, планета, спутник планеты или астероид) лишен атмосферы, то минимальный период будет достигнут, если орбита круговая, а величина $a$ близка к радиусу тела:

Здесь $\rho$ – средняя плотность центрального тела. Отсюда мы сразу видим, что быстрее всего оборот можно сделать вокруг наиболее плотного тела. Однако, если это тело обладает атмосферой, то движение вблизи поверхности без включения двигателей невозможно – атмосфера затормозит движение, и аппарат сгорит в ней или упадет на поверхность. Минимальный радиус орбиты составит $R+h$, где $h$ – характерная высота плотных слоев атмосферы. Тогда минимальный период будет равен

Из справочных таблиц мы можем видеть, что два самых плотных больших тела Солнечной системы – это планеты Земля и Меркурий, за ними следует планета Венера. Плотность других тел, особенно на окраинах Солнечной системы, существенно ниже. Если бы у Земли не было атмосферы, то минимальный период ее облета был бы самым маленьким. Но атмосфера у Земли есть. Найдем высоту $h_{\mathrm{E}}$, на которой период оборота вокруг Земли сравнится с периодом оборота вокруг Меркурия, у которого атмосферы нет:

Здесь индекс “E” относится к Земле, “M” – к Меркурию. В результате мы получаем значение $h_{\mathrm{E}}$, равное 40 км. Очевидно, что орбитальные полеты на такой высоте над Землей невозможны. Итак, быстрее всего по орбите можно облететь Меркурий.