Съдържание

ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 23. Практический тур. X.2 · Звездный вальс

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2013

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2013 г. Теоретический тур и практический тур, 9, 10, 11 класс

Шапка листов с условиями

Министерство образования и науки Российской Федерации
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Орел, 2013 г.

Обложка сборника условий и решений

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2013 г.

Выходные данные сборника

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2013 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 40 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

На графиках приведены кривые блеска (вблизи минимумов) и кривая лучевых скоростей компонент затменной двойной системы CM Дракона. Орбитальный период системы составляет 1.27 дня. По оси абсцисс отложена величина фазы (время, деленное на период). Считая звезды сферическими, определите величины их средней плотности.

Два графика кривой блеска: по вертикали звездная величина m от 12.8 до 14.2, по горизонтали «Фаза, t/T» — слева от –0.02 до 0.02 (минимум около 13.6 при фазе 0), справа от 0.48 до 0.52 (минимум около 13.55 при фазе 0.5); точки наблюдений и сглаживающая кривая.

График лучевых скоростей: по вертикали v_R, км/с от –200 до –40, по горизонтали «Фаза, t/T» от –0.2 до 1.2; две синусоиды в противофазе — черные точки (минимум около –190 при фазе 0.25, максимум около –47 при 0.75) и светлые кружки (максимум около –38 при фазе 0.25, минимум около –197 при 0.75), пересекающиеся около –120 км/с при фазах 0, 0.5 и 1.

Отговори

Решение

О.С. Угольников

Обратим внимание на несколько свойств системы CM Дракона, существенно облегчающих решение задачи. Минимумы блеска наступают при фазах 0 и 0.5, то есть ровно через половину орбитального периода системы. В эти же моменты лучевые скорости звезд совпадают, как видно из соответствующего графика. Это может быть, если орбиты звезд круговые или эллиптические с линией апсид, перпендикулярной плоскости наблюдения (то есть проходящей через наблюдателя). Во втором из этих случаев уменьшение блеска во время первого и второго минимума имело бы разную длительность, а кривые лучевых скоростей выглядели бы асимметрично, чего не наблюдается. Итак, орбиты звезд круговые. По кривым блеска видно, что главный и вторичный минимумы имеют также практически одинаковую глубину и составляют около $0.7^m$ , то есть видимая яркость системы уменьшается в 2 раза. Следовательно, затмения в системе практически полные, а входящие в систему звезды – почти одинаковые, иначе глубина, по крайней мере, одного минимума была бы меньше $0.7^m$ . Понятно также, что наблюдатель находится в плоскости орбит звезд.

Вид кривых лучевой скорости системы указывает, что массы звезд также одинаковы с точностью до 10%, их орбиты фактически совпадают. Орбитальная скорость звезд $v$ есть амплитуда синусоидальных колебаний лучевой скорости, она составляет 75 км/с. Зная орбитальный период системы $T$ , получаем величину радиуса орбит звезд:

R = vT/2\pi.

Радиус составляет всего 1.3 млн км, что меньше 0.01 а.е. Запишем уравнение закона всемирного тяготения для этих звезд:

\frac{GM^2}{4R^2} = \frac{Mv^2}{R}.

Здесь $M$ – масса каждой из звезд. Она равна

M = \frac{4v^2R}{G} = \frac{2v^3T}{\pi G}.

Численное значение массы составляет $4.4\cdot 10^{29}$ кг или 0.22 массы Солнца. По кривой блеска видим, что его длительность обоих минимумов $t$ составляет 0.04 от орбитального периода $T$ . Во время минимумов звезды движутся на небе навстречу друг другу, в начале и конце затмения их диски касаются друг друга. Длительность затмения составляет

t = 4r/2v = 2r/v.

Две пары касающихся кругов (звезды 1 и 2) в начале и в конце затмения: отрезки r между центром и точкой касания, стрелки скоростей v, направленных навстречу друг другу (вверху) и в разные стороны (внизу).

Отсюда мы получаем, что радиус каждой из звезд $r$ равен $vt/2$ или 150 тысяч км (0.22 радиуса Солнца). Средняя плотность звезд равна

\rho = \frac{3M}{4\pi r^3} = 3\cdot 10^4\ \text{кг}/\text{м}^3.

Содержание сборника

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс	3
10 класс	8
11 класс	12

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс	19
10 класс	26
11 класс	31

Оригинал в Архива: prob2013tepr.pdf · официални решения: psol2013tepr.pdf