ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 25. Практический тур. XI.1 · Планета и кольцо

• $A_2/A_1 \approx 1$

  Геометрическое альбедо Сатурна и его ярких колец практически совпадает.

О.С. Угольников

На графике можно отметить несколько периодических составляющих. В первую очередь, блеск Сатурна меняется с амплитудой 0.5-$0.6^m$ с периодом чуть больше одного года. Это есть синодический период Сатурна, и блеск меняется от соединения к противостоянию, прежде всего, за счет изменения расстояния между Сатурном и Землей. Если рассматривать блеск планеты только в противостоянии (или средний за синодический период), то легко заметны еще два фактора. Первый из них имеет период около 15 лет, вдвое меньший орбитального периода Сатурна, и приводит к минимуму блеска около 2009-2010 и 2024-2025 годов. Он связан с изменением ориентации колец Сатурна по отношению к Солнцу и Земле, и в указанные годы кольца расположены ребром к наблюдателю. Второй фактор связан с эллиптичностью орбиты Сатурна, его период равен орбитальному периоду планеты. Он приводит к тому, что блеск планеты в период максимального раскрытия колец (2002-2003 и 2017-2018 годы) различается.

Эпохи исчезновения колец наступают, когда на Сатурне происходят равноденствия, и Солнце оказывается в плоскости экватора и колец. Эти эпохи разделяются половиной орбитального периода Сатурна, а его блеск в это время примерно одинаков. Из этого можно сделать вывод, что Сатурн в это время оказывается посередине между перигелием и афелием своей орбиты. Соответственно, эпохи максимального раскрытия колец (2002-2003 и 2017-2018 годы) происходят вблизи перигелия и афелия. В этом можно также убедиться, сопоставив разность звездных величин Сатурна в эти эпохи с эксцентриситетом его орбиты.

Проведем синусоидальную линию, указывающую, каким был бы блеск Сатурна в противостоянии, если бы раскрытие колец было все время максимальным. Сравнивая реальный блеск Сатурна в противостоянии с этой кривой, получаем, что исчезновение колец приводит к ослаблению блеска Сатурна на величину $\Delta m$, равную $0.8^m$. Соответствующее отношение величин яркости составляет:

Рассмотрим, как выглядит Сатурн со стороны Солнца (и Земли) во время двух противостояний: с максимальным раскрытием кольца и при его исчезновении, считая расстояние до Сатурна в обоих случаях одинаковым. Видимая площадь диска Сатурна составляет

где $r_{\mathrm{E}}$ и $r_{\mathrm{P}}$ – экваториальный и полярный радиусы Сатурна, $D$ – расстояние до него. Видимая площадь колец во время их максимального раскрытия равна

где $R_1$ и $R_2$ – внутренний и внешний радиус кольца, $i$ – угол наклона плоскости экватора и колец Сатурна к плоскости его орбиты. Видимая площадь колец составляет 1.35 от видимой площади Сатурна.

Вне зависимости от раскрытия кольца, в противостоянии мы не наблюдаем теней и видим ту же поверхность Сатурна и колец, которую освещает Солнце. Когда кольца повернуты к Солнцу и Земле ребром, мы видим только полный диск Сатурна. При максимальном раскрытии колец они закрывают часть диска Сатурна (эта площадь обозначена как $s$ на рисунке). У противоположного полюса сам Сатурн закрывает такую же площадь колец. Вычислить величину данной площади в точности трудно, но ее можно определить из рисунка, построенного в точном масштабе. Данную площадь можно аппроксимировать треугольником, показанном на рисунке. Ее приближенное значение оказывается равным 0.1 видимой площади Сатурна. Обозначив альбедо Сатурна и кольца как $A_1$ и $A_2$ соответственно, получаем выражение для отношения яркостей Сатурна с максимальным раскрытием колец и без него:

Отсюда получаем соотношение альбедо:

Геометрическое альбедо Сатурна и его ярких колец практически совпадает.