Съдържание

ВсОА 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. X.3 · Частично освещенное тело

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2013

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2013 г. Теоретический тур и практический тур, 9, 10, 11 класс

Шапка листов с условиями

Министерство образования и науки Российской Федерации
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Орел, 2013 г.

Обложка сборника условий и решений

Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2013 г.

Выходные данные сборника

XX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2013 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 40 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Некоторое тело Солнечной системы сферической формы при наблюдении с Земли имеет фазу $F$ . Определите максимально возможное расстояние от Земли до данного тела в этот момент. Орбиту Земли считать круговой.

Отговори

Решение

О.С. Угольников

Как видно из рисунка, фаза сферического тела (доля освещенной части диска или освещенной части диаметра, проходящего через середину терминатора) равна

Слева — круг радиуса r (тело), половина которого затенена; из центра проведены стрелки на Солнце (вверх вправо) и на Землю (вниз), угол между направлением на Солнце и горизонтальным радиусом обозначен φ, отрезок d отмечен на горизонтальном диаметре. Справа — вид тела с Земли: затененный диск с узким освещенным серпом, ширина освещенной части по диаметру обозначена d.

F = \frac{d}{2r} = \frac{1 + \cos\varphi}{2},

где $\varphi$ – угол с вершиной в центре тела, образованный направлениями на Солнце и Землю (его еще называют фазовым углом). Для него выполняется очевидное соотношение

\varphi = \arccos\,(2F - 1).

Изобразим Солнце, Землю и наблюдаемое тело (плоскость рисунка не должна обязательно совпадать с плоскостью эклиптики). Обозначим расстояние между Солнцем и Землей через $R$ . Если фаза тела $F$ меньше 0.5, и фазовый угол $\varphi$ больше 90° (случай 1 на рисунке), то тело должно находиться на малой дуге окружности, описанной около треугольника «Солнце-Земля-тело». Очевидно, что максимально возможное расстояние между Землей и телом $L$ равно $R$ и достигается, если тело находится вблизи Солнца.

В случае 2 (фаза $F$ больше 0.5, фазовый угол $\varphi$ меньше 90°) тело будет находиться на большой дуге окружности. Максимальное расстояние от Земли $L$ будет равно диаметру этой окружности. Из теоремы синусов имеем:

L = \frac{R}{\sin\varphi} = \frac{R}{2\sqrt{F(1-F)}}.

Два случая с подписями 1 и 2: Солнце (вверху) и Земля (внизу) соединены отрезком R. В случае 1 тело лежит на малой дуге описанной окружности вблизи отрезка R, угол при теле φ тупой. В случае 2 тело лежит на большой дуге окружности, угол при теле φ острый, через окружность проведен диаметр L.

Содержание сборника

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс	3
10 класс	8
11 класс	12

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс	19
10 класс	26
11 класс	31

Оригинал в Архива: prob2013tepr.pdf · официални решения: psol2013tepr.pdf